Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.1.4
2.1.2. Если теперь область
D
расположена в полярной системе координат и ограничена лучами
β
=
ϕ
α
=
ϕ
,
и
линиями
)(
1
ϕρ=ρ
и
)(
2
ϕρ=ρ
(
)()(,
21
ϕρ≤ϕρβ<α
при
],[
β
α
∈
ϕ
),
то
площадь
области
D
вычисляется
по
формуле
∫∫
ϕρ
ϕρ
β
α
ρρϕ=
)(
)(
2
1
ddS
.
П р и м е р.
Вычислить
с
помощью
двойного
интеграла
в
полярных
координатах
площадь
фигуры
,
ограниченной
линией
(
заданной
в
декартовых
координатах
)
(
)
045
22
2
22
=−−+
yxyx
.
Решение
.
Отметим
,
что
линия
симметрична
относительно
обеих
координатных
осей
(
так
как
х
и
у
в
уравнении
содержатся
в
чётных
степенях
).
Запишем
уравнение
границы
в
полярных
координатах
,
используя
формулы
перехода
ϕ
ρ
=
ϕ
ρ
=
sin,cos
yх
:
(
)
0sin4cos5
2222
2
2
=ϕρ−ϕρ−ρ
,
откуда
ρ ϕ ρ ϕ
2 2 2
4 4= + = +cos , cos
.
Имеем
(
см
.
рис
. 2.1.5)
( )
=ϕϕ+=ρρϕ=
∫∫∫
ππ
ϕ+
2
2
2
0
2
cos4
00
cos4
2
1
4
1
dddS
8
9
.
Следовательно
,
2
9
=
S
.
2.2.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ
ИНТЕГРАЛ
ПО
ДЛИНЕ
ДУГИ
Если
дуга
l
линии
задана
уравнением
,),(
bxaxy
≤≤ϕ=
и
функция
)(
x
ϕ
имеет
непрерывной
производную
)('
x
ϕ
на
отрезке
],[
ba
,
то
задача
о
вычислении
массы
этой
дуги
приводит
к
рассмотрению
так
называемого
криволинейного
интеграла
первого
рода
(
по
длине
дуги
)
∫
ρ
l
dlyx
),(
.
Здесь
=
ρ
),(
yx
ρ
–
плотность
массы
дуги
в
точке
),(
yx
;
функция
ρ
предполагается
непрерывной
в
точках
дуги
.
При
сформулированных
условиях
криволинейный
интеграл
может
быть
сведён
к
определённому
следующим
образом
:
∫
ρ
l
dlyx
),(
=
dxxxx
b
a
2
))('(1))(,( ϕ+ϕρ
∫
.
Другими
словами
,
при
переходе
к
определённому
интегралу
следует
в
подинтеральное
выражение
вместо
y
подставить
)(
x
ϕ
из
уравнения
линии
,
а
«
элемент
длины
»
dl
записать
в
виде
dxx
2
))('(1 ϕ+ .
П р и м е р .
Вычислить
криволинейный
интеграл
∫
l
dlxy
вдоль
дуги
окружности
1
22
=+
yx
,
расположенной
в
первой
координатной
четверти
.
Решение
.
Выражая
переменную
y
из
уравнения
окружности
,
имеем
2
1
xy
−=
,
.10
≤
≤
x
Далее
,
=
'
y
2
12
2
x
x
−
−
=
2
1
x
x
−
−
и
2
2
)
1
(1
x
x
dl
−
−+=
dx
x
dx
2
1
1
−
=
.
Теперь
∫
l
dlxy
=
∫
1
0
x
2
1
x
−
dx
x
2
1
1
−
=
∫
1
0
x
5,0
=
dx
.
y
=
x
/
2
y
y
=
2
y
=
#
2
x
x
2
4
1
#
1
D
ρ
1
5
2
2
0
Рис. 2.1.5

Страницы