Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
xy
dx
dy
x
ln4
2
+=
или
2
4
y
dy
+
=
x
dx
x
ln
(умножили обе части на
dx
и поделили на
(
)
2
4
yx
+
).
Интегрируя (интеграл в правой части вычисляем с помощью замены переменной
xt
ln=
), получим
C
xy
x
dx
x
y
dy
2
1
2
ln
2
arctg
2
1
;ln
2
2
22
+==
+
∫∫
.
Итак
,
соотношение
Cx
y
+=
2
ln
2
arctg
служит
общим
решением
уравнения
.
3.1.3.
Уравнение
вида
=
′
x
y
fy
или
приводящееся
элементарными
преобразованиями
к
указанному
виду
,
называется
однородным
.
Заменой
переменных
x
y
t
=
(
откуда
xtty
′
+=
′
),
уравнение
преобразуется
к
рассмотренному
типу
3.1.2.
3.1.4.
Уравнение
вида
)()(
xqyxpy
=+
′
называется
линейным
,
а
уравнение
)1,0()()( ≠γ=+
′
γ
yxqyxpy
носит
имя
Бернулли
.
В
обоих
случаях
общее
решение
может
быть
найдено
в
виде
),()(
Cxuxy
υ
=
,
где
выбор
функций
u
и
υ
поясним
на
следующем
примере
.
П р и м е р.
x
e
x
y
y
2
2
=−
′
.
Найти
общее
решение
.
Имеет
линейное
уравнение
;
положим
uv
=
,
тогда
vuvuy
′
+
′
=
′
.
Подставляя
выражения
для
и
y
′
в
уравнение
,
получим
x
e
x
uv
vuvu
2
2
=−
′
+
′
или
x
e
x
v
vuvu
2
2
=
−
′
+
′
.
Выберем
v
так
,
чтобы
0
2
=−
′
x
v
v
,
тогда
уравнение
примет
вид
x
evu
2=
′
.
Решаем
последовательно
,
разделяя
переменные
,
полученные
уравнения
а
)
;
2
;0
2
∫∫
==−
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
откуда
x
ev
=
(
выбрана
одна
из
первообразных
v
(
х
)).
б
)
x
evu
2=
′
или
xx
ee
dx
du
2=
;
значит
dxdu
2=
,
откуда
Cxu
+=
2
(
в
отличие
от
случая
а
)
здесь
ищется
общее
решение
).
Поскольку
y
uv
=
,
то
ответ
записываем
в
виде
(
)
x
eCxy
+=
2
.
3.2.
УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА
3.2.1.
Функция
)(
xyy
=
есть
решение
уравнения
),,(
yyxfy
′
=
′
′
(
уравнение
второго порядка
соответственно
порядку
старшей производной
),
если
при
её
подстановке
в
уравнение
оно
обращается
в
тождество
.
Общее
решение
),,(
21
CCxyy
=
(
или
0),,,(
21
=Φ
CCyx
)
зависит
от
двух
произвольных
постоянных
.
Задача
Коши
имеет
вид
′
=
′
=
′
=
′
′
,)(
;)(
);,,(
00
00
yxy
yxy
yyxfy
где
(
)
000
,,
yyx
′
–
заданная
точка
пространства
;
чтобы
удовлетворить
начальным
условиям
,
следует
соответствующим
образом
подобрать
1
C
и
2
C
.
3.2.2.
В
следующих
случаях
путём
надлежащей
замены
переменных
уравнение
второго
порядка
решается
последовательным рассмотрением
двух
уравнений первого порядка (понижение порядка):
а
)
)(
xfy
=
′
′
;
б
)
),(
yxfy
′
=
′
′
;
в
)
),(
yyfy
′
=
′
′
.

Страницы