Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В случаях а), б) вводится новая переменная
yxz
′
=)(
, тогда
xd
zd
y
=
′′
, в случае в) полагаем
)(
ypy
=
′
, тогда
yd
pd
py
=
′′
.
П р и м е р . Решить задачу Коши
(
)
=
′
=
=+
′′
.9)0(
;31)0(
;09
2
y
y
yyy
Имеем случай 3.2.2, в). Полагая
(
)
ypy
=
′
, получим
dy
dp
py
=
′′
. Следовательно
0
9
2
=+
y
dy
dp
yp
или (разделяя
переменные)
dy
y
dpp
3
9
−=
, откуда
2
2
9
2
,9
1
2
2
3
C
y
p
dyydpp
+=−=
∫∫
−
, т.е.
( )
1
2
2
9
C
y
y
+=
′
.
Постоянную
1
C
можно найти уже на этом этапе, если, положив 0
=
x
, использовать начальные условия:
,
3
1
)0( =
y
9)0( =
′
y
:
;
9
1
9
9
1
2
C
+=
откуда
1
C
= 0.
Значит, решаем уравнение
( )
y
y
y
y
3
,
9
2
2
=
′
=
′
(при извлечении корня для определённости выбран знак плюс; это
оправдано тем, что в точке
0
=
x
,
у
и
y
′
имеют одинаковый знак). Разделяя переменные, имеем
Cxy
+= 6
2
, и так как
3
1
)0( =
y
, то
,
9
1
6
2
+=
xy
откуда
3
541
x
y
+
=
.
3.2.3. Уравнение вида
const,,0 ==+
′
+
′
′
qpqyypy
называется
линейным однородным уравнением
(ЛОУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение
имеет вид
2211
yCyCy
+=
,
где
)(
11
xyy
=
и
)(
22
xyy
=
– так называемая фундаментальная система решений (ФСР), которая определяется следующим
образом:
а) строится характеристическое уравнение (квадратное уравнение с теми же коэффициентами):
0
2
=+λ+λ
qp
.
б) если оно имеет действительные различные корни
1
λ
и
2
λ
(дискриминант
04
2
>−=
qpD
), то
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
.
в) если корни уравнения
λ=λ=λ
21
(дискриминант
0
=
D
), то
x
ey
λ
=
1
,
x
exy
λ
=
2
.
г) если характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряжённые корни
(
)
0;1,
2
21
<−=−=λ+=λ
Diibaiba
,
то
bxey
ax
cos
1
=
,
bxey
ax
sin
2
=
.
В частности, если
ib
±
=
λ
, то
bxy
cos
1
=
,
bxy
sin
2
=
.
П р и м е р. Найти общее решение
0522 =+
′
+
′
′
yyy
.
Корни характеристического уравнения
0522
2
=+λ+λ
имеют вид
i
2
3
2
1
2,1
±−=λ
(см. случай г)). Следовательно,
xey
x
2
3
cos
2
1
−
=
,
xey
x
2
3
sin
2
2
−
=
и
+=
−
xCxCey
x
2
3
sin
2
3
cos
21
2
– общее решение.
3.2.4.
Линейным неоднородным уравнением
(ЛНУ) второго порядка с постоянными коэффициентами
p
и
q
называется уравнение вида
)(
xfqyypy
=+
′
+
′
′
.

Страницы