Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

+−
=
−=
.
1sin
1cos1
;1
2
1
C
C
Окончательно,
−
+−=
−
ttetу
t
sin
1sin
11cos
cos1)(
4
– искомое отклонение в любой момент времени
t
.
3.4. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.4.1. Рассмотрим задачу о нахождении функций
x = x
(
t
) и
y = y
(
t
) как решений
системы дифференциальных уравнений
+=
+=
,
;
qypx
dt
dy
byax
dt
dx
a b p q, , , = const
.
Общее решение ищем следующим образом:
а) составим характеристическое уравнение вида
0=
λ−
λ−
qp
ba
;
б) в соответствии с его корнями
21
, λλ
строим ФСР
{
}
)(),(
21
tyty
и общее решение
−=
+=
).(
1
);()(
2211
qyy
p
x
tyCtyCy
&
П р и м е р. Найти общее решение системы
−=
+
−
=
.69
;46
yxy
yxx
&
&
Имеем характеристическое уравнение
)6,9,4,6( −===−=
qpba
0
69
46
=
λ−−
λ−−
, т.е.
036)6(
2
=−λ−−
,
откуда
12,0,66
21
−=λ=λ±=+λ
.
Следовательно,
tt
eCCyeyey
12
21
12
2
0
1
;;1
−−
+====
.
Далее, из второго уравнения системы
)6(
9
1
yyx
+=
&
.
Поскольку
(
)
tt
eCeCCy
12
2
12
21
12
−−
−=
′
+=
&
, то
( )
t
eCCx
12
21
3
2
−
−=
.
Итак, найдено общее решение заданной системы
( )
+=
−=
−
−
.
;
3
2
12
21
12
21
t
t
eCCy
eCCx
Замечание
. Решение системы можно понимать как совокупность возможных траекторий (законов движения) материальной
точки в плоскости, найденную по известной зависимости координат
yx
&&
,
вектора
скорости
jyix
&&
+=v
от
плоских
координат
этой
точки
.

Страницы