Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение 3.2.3 будем называть соответствующим ему ЛОУ. Пусть
ч
y
– некоторое частное решение ЛНУ, а
22110
yCyCy
+=
общее решение соответствующего ЛОУ. Тогда общее решение ЛНУ может быть найдено в виде
ч0
yyy
+=
.
Если
)(
xf
имеет следующий специальный вид
( )
xxQxxPexf
mn
x
β+β=
α
sin)(cos)()(
,
где
Р
и
Q
– многочлены соответствующих степеней, то
(
)
xQxxPexy
NN
xr
β+β=
α
sin
~
cos)(
~
ч
.
Здесь
N
– наибольшая из степеней
n
и
m
многочленов,
r
– количество совпадений «контрольного числа»
β
+
α
=
iS
с
корнями
λ λ
1 2
,
характеристического уравнения. Так, в случае
( )
const)( ==
α
AAexf
x
, имеем
xr
ч
Mexy
α
=
, где параметр
М
определяется по методу неопределённых коэффициентов (см. пример).
П р и м е р.
x
eyyy
332 =−
′
−
′′
. Найти общее решение.
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ
имеет корни
3
1
=λ
,
1
2
−=λ
, следовательно,
xx
eCeCy
−
+=
2
3
10
.
Перейдём к нахождению
ч
y
; так как
x
exf
⋅
=
1
3)(
, то
1
=
α
и контрольное число
1
=
α
=
S
. Поскольку
1
λ≠
S
,
2
λ≠
S
, то
0
=
r
, и
x
Mey
=
ч
. Осталось определить коэффициент
М
. Для этого находим
,
ч
x
Mey
=
′
x
Mey
=
′′
ч
и подставляем их в
неоднородное уравнение:
xxxx
eMeMeMe
332 =−−
откуда
4
3
−=
M
Итак,
x
ey
4
3
ч
−=
и общее решение тогда имеет вид
xxx
eeCeCy
4
3
2
3
1
−+=
−
.
3.3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
3.3.1. Как отмечалось выше, общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка содержит две
произвольных постоянных (две «степени свободы»). Частное решение может быть выделено тогда из общего путём задания
двух специальных условий. Этими условиями могут быть не только начальные, но и так называемые краевые условия.
Например, в механике может быть задано положение объекта в два различных момента времени. Так, процесс механических
колебаний объекта массы
m
относительно положения равновесия описывается уравнением
)(
tfkyyhym
=+
′
+
′
′
,
где
)(
tyy
=
– отклонение в момент
t
точки от положения равновесия;
h
– коэффициент трения;
k
– коэффициент упругости
восстанавливающей силы;
)(
tf
– внешняя сила. Если задать положения
α
и
β
объекта в моменты соответственно
τ
и
∗
τ
β=τ
α=τ
∗
,)(
;)(
y
y
то приходим к так называемой
краевой
задаче
. Подобная математическая модель возникает и в задаче об электрических
колебаниях и др.
П р и м е р. Механические колебания материальной точки описываются уравнением
t4
178
−
=+
′
+
′′
еууу
, причём
положение точки в начальный момент и в момент
1
=
t
заданы:
0)1(,0)0(
=
=
yy
.
Определить
отклонение
)(
ty
точки
от
положения
равновесия
в
любой
момент
времени
t
.
Решение
.
Найдём
общее
решение
ЛНУ
.
Характеристическое
уравнение
для
соответствующего
ЛОУ
имеет
корни
i
±−=λ 4
2,1
,
поэтому
общее
решение
ЛОУ
получаем
в
виде
)sincos(
21
4
0
tCtCеу
t
+=
−
.
Поскольку
контрольное
число
4
−
=
S
не
совпадает
ни
с
одним
из
корней
,
то
t
Меу
4
ч
−
=
.
Находя
t
Меу
4
ч
4
−
−=
′
и
t
Меу
4
ч
16
−
=
′′
и
подставляя
результаты
в
ЛНУ
,
получаем
tttt
eMeMeMe
4444
173216
−−−−
=+−
,
откуда
1
=
так
что
t
ч
еу
4−
=
.
Следовательно
,
)sincos1(
21
4
0
tCtC
еууу
t
ч
++=+=
−
–
общее
решение
ЛНУ
.
Теперь
подставим
краевые
условия
:
0
=
t
и
,0
=
y
1
=
t
и
0
=
y
:
=++
=++
−
.0)1sin1cos1(
;001
21
4
1
C
Се
С
Решая
систему
,
получаем
:

Страницы