Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ
2.3.1. Пусть сила
jyxQiyxPF
),(),( +=
перемещает материальную точку
М
из начала
дуги – точки
А
, в конец – точку
В
(рис. 2.3.1).
Задача о вычислении
работы силы F
(совершаемой вдоль
∪ AB
линии
L
) приводит
к рассмотрению так называемого криволинейного интеграла по координатам
dyyxQdxyxP
AB
),(),( +
∫
∪
.
2.3.2. Пусть дуга
АВ
расположена в области
D
, где
P
и
Q
– непрерывные функции.
Если линия
L
имеет параметрические уравнения
=
=
),(
);(
tyy
txx
причём положение точек
А
и
В
соответствуют значениям
α
=
t
и
β
=
t
, то
( ) ( )
[ ]
dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxP
AB
∫∫
β
α∪
′
+
′
=+ )()(),()()(),(),(),(
.
Если же линия
L
имеет уравнение
y x= ϕ ( )
, причём
x
a
=
и
x b=
– абсциссы точек
А
и
В
, соответственно, то
( ) ( )
[ ]
dxxxxQxxPdyyxQdxyxP
b
aAB
∫∫
ϕ
′
ϕ+ϕ=+
∪
)()(,)(,),(),(
.
Смысл формул состоит в том, что
выражение
для
х
и
у
из уравнений линии
подставляем
в
подынтегральное
выражение
dyQdxP
+
(при этом вычисляем дифференциалы
dx
и
dy
), после чего производим интегрирование в границах изменения
параметра.
П р и м е р. Вычислить работу силы
(
)
jxixyF
43
3
++=
по перемещению материальной точки вдоль контура
3
xy
=
из
начального положения 0(0,0) в положение
В
(1,1).
Решение
. Имеем вектор
jQiPF
+=
с координатами
,3
3
xyP
+=
.4
xQ
=
На
дуге
ОВ
линии
3
xy
=
абсцисса
х
изменяется
от
0
до
1,
при
этом
.3'
2
xy
=
Тогда
работа
будет
вычислена
в
виде
( )
43434)3(
1
0
2333
=⋅++=++=
∫∫
∪
dxxxxxdyxdxxyJ
ОB
.
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1.
УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
3.1.1.
Уравнение
вида
),(
yxfy
=
′
будем
рассматривать
как
задачу
о
нахождении
функции
)(
xyy
=
,
которая
при
подстановке
вместо
у
обращает
это
соотношение
в
тождество
.
На
самом
деле
в
процессе
интегрирования
определится
класс
решений
),(
Cxyy
=
,
который
называется
общим
решением
дифференциального
уравнения
(
здесь
С
–
произвольная
постоянная
).
При
каждом
конкретном
значении
0
CC
=
получаем
«
частное
решение
» ),(
0
Cxyy
= .
Задача
вида
=
=
′
00
)(
);,(
yxy
yxfy
называется
задачей
Коши
.
3.1.2.
Дифференциальное
уравнение
вида
)()(
ygxfy
=
′
называется
уравнением
с
разделяющимися
переменными
.
Если
представить
y
′
в
виде
отношения
dy
дифференциалов
,
то
путем
выполнения
операций
умножения
и
деления
уравнении
можно
преобразовать
к
виду
dxxHdyyG
)()(
=
(
уравнение
с
разделенными
переменными
),
после
чего
остается
выполнить
интегрирование
обеих
частей
полученного
соотношения
.
П р и м е р.
(
)
xyyx
ln4
2
+=
′
.
Найти
общее
решение
.
Имеем
уравнение
в
разделяющимися
переменными
F
0
Рис. 2.3.1

Страницы