ВУЗ:
Составители:
...1,0,= , ...;...=)(
2
210
naxaxaxaaxf
n
n
n
R∈+++++ . (8.6.1)
Как отмечалось выше, в интервале сходимости ),( RR
−
записанный ряд можно почленно дифференцировать сколь
угодно много раз. Поскольку
)(xf – его сумма, то она необходимо должна быть дифференцируема сколь угодно много раз.
Докажем, что в этом случае разложение (8.6.1) принимает вид
...
!
(0)
...
2!
(0)
1!
(0)
(0)=)(
)(
2
+++
′′
+
′
+
n
n
x
n
f
x
f
x
f
fxf (8.6.2)
Действительно,
а) полагая
0=x в (8.6.1), получаем (0)=
0
fa ;
б) почленно дифференцируя (8.6.1) и cнова полагая
0=x , имеем (0)=
1
fa
′
;
в) в результате второго почленного диффренцирования (8.6.1) при
0=x получаем
2
2!=(0) af
′
′
, откуда
2!
(0)
=
2
f
a
′′
;
г) на (n + 1) шаге приходим к равенству
!
(0)
=
)(
n
f
a
n
n
, откуда
.
!
(0)
=
)(
n
f
a
n
n
Учитывая вид полученных коэффициентов
n
a , мы и получаем (8.6.2); говорят также, что функция )(xf разложена в
ряд по степеням
x
, или, коротко, в ряд Маклорена.
Поскольку в настоящем пункте мы проводим лишь обзорное рассмотрение, то ограничимся формулировкой следующе-
го достаточного условия разложимости в ряд Маклорена функций действительного переменного: если для всех значений
...2,1,=n
существует постоянная 0>C такая, что в некоторой окрестности точки 0=
0
x выполняется неравенство
,|)(||)(|
)(
Cxfxf
n
≤+
то функция )(xf в этой окрестности есть сумма соответствующего ряда Маклорена (8.6.2).
Нетрудно поверить, что это утверждение применимо к функциям
x
exf =)( , xxf sin=)( , xxf cos=)( во всякой окре-
стности точки
0=
0
x . Если вычислить коэффициенты ряда Маклорена для каждой из них, то получим, что при всех значени-
ях действительного аргумента имеют место разложения:
...,
!
...
2!
1=
2
+++++
n
xx
xe
n
x
(8.6.3)
...,
1)!(2
1)(...
3!
=sin
123
+
+
−++−
+
n
xx
xx
n
n
...
)!(2
1)(...
2!
1=cos
22
+−++−
n
xx
x
n
n
Именно эти разложения служили в параграфе 2.5 основой для определения функций комплексного переменного
,sin= ,= zwew
z
z
w cos= .
Остановимся на обосновании, например, соотношения (8.6.3). Имеем
...,2,1,= ,=...=)(=...=)(=)(
)(
nexfxfxf
xn
′′′
а тогда
1.=...=(0)=...=(0)=(0)
)(n
fff
′
Подставляя полученные значения в (8.6.2), мы приходим к (8.6.3). Для доказательства сходимости ряда (8.6.3) при каж-
дом
x
к сумме
x
exf =)( , заметим, что в каждом интервале ),(
00
RR
−
имеет место соотношение
...,2,1,= ,|)(||)(|
0
)(
nCxfxf
n
≤+
где постоянная
0
=
0
R
eC .
На основании сформулированного выше достаточного условия разложимости функции в ряд Маклорена тогда во вся-
ком фиксированном интервале ряд (8.6.3) имеет своей суммой именно
x
exf =)(
. Ввиду произвольности выбранного интер-
вала разложение (8.6.3) имеет место при всех действительных
x
, что и утверждалось.
