Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
5
1=
n
n
n
nx
∑
∞
Решение. Если положить 0 ,
1
= ≠x
x
X , то получим степенной ряд действительной переменной
X
n
n
n
X
n
5
1=
∑
∞
с коэффициентами вида
n
a
n
n
5
=
. Число Даламбера находим в виде
5,=
1
1
1
lim5=
1)5(
5
lim=
||
||
lim=
1
1
n
n
n
a
a
D
n
n
n
n
n
n
n
+
+
∞→
+
∞→
+
∞→
откуда
5
1
=R
, и интервал абсолютной сходимости ряда определяется соотношением
;
5
1
<<
5
1
X−
вне этого интервала степенной ряд расходится. Исследуем концы интервала.
а)
5
1
=X
. В этой точке значение общего члена ряда
n
n
n
X
n
Xf
5
=)( есть величина ,
1
=
5
15
=
5
1
nn
f
n
n
n
так что приходим к числовому ряду
n
n
1
1=
∑
∞
(гармонический ряд), который расходится.
б)
5
1
= −X
. Имеем
;
1)(
=
5
1)(5
=
5
1
nn
f
n
n
nn
n
−−
−
получаемый знакочередующийся ряд
n
n
n
1)(
1=
−
∑
∞
является условно сходящимся (параграф 8.3, пп. 1, 2).
Итак, область сходимости степенного ряда определяется соотношением
5
1
<
5
1
X≤−
. Поскольку
x
X
1
= , то остается
решить двойное неравенство
5
1
<
1
5
1
x
≤− . Можно записать, что
5
1
<
||
1
x
либо
5
1
=
1
−
x
.
В первом случае имеем
5|>| x , что равносильно совокупности двух неравенств: 5>x , 5< −x ; во втором – 5=
−
x . Оконча-
тельно имеем область сходимости в виде
).(5,5],(
∞
+
−
−
∞
∈
Ux
8.6. РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ е
х
, sinx, cosx
В СТЕПЕННОЙ РЯД
1
0
. Одной из задач, рассмотренных выше, была задача о представлении данной функции суммой соответствующего
степенного ряда. В случае функции действительного переменного
)(= xfy , такой ряд имеет вид

Страницы