Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
0
. Рассмотрим ряд
R∈+++++ xxaxaxaa
n
n
...,...
2
210
(8.5.4)
с действительными коэффициентами ...2,1,= , na
n
; будем употреблять также запись
.
0=
n
n
n
xa
∑
∞
Пересечением круга сходимости }|<| :{ Rzz степенного ряда (2.4.2) комплексной переменной с осью абсцисс является
интервал
),( RR− , поэтому для ряда (8.5.4) следует вести речь об интервале сходимости, внутри которого он сходится абсо-
лютно, а вне которого расходится. Радиус интервала (радиус сходимости) может быть, очевидно, и здесь найден по одной из
формул (2.4.5)
K
R
1
= или
D
R
1
=
, где, соответственно случаю (8.5.4),
.
||
||
lim= ,||lim=
1
n
n
n
n
n
n
a
a
DaK
+
∞→∞→
(8.5.5)
Стоит отметить, что общая теория не позволяет судить о поведении такого ряда в концевых точках интервала, и для ка-
ждого конкретного степенного ряда исследование в обеих концевых точках проводят дополнительно.
3
0
. Из результатов п. 1 параграфа 4.1 вытекает, что степенной ряд (8.5.4) мажорируем на всяком отрезке вида
),(],[ RR−⊂ρρ− , а значит, равномерно сходится на этом отрезке. Отсюда вытекает возможность почленного интегрирова-
ния ряда по всякому отрезку, расположенному внутри интервала сходимости (см. п. 1 настоящего параграфа).
Возможность же почленного дифференцирования будет обеспечена равномерной сходимостью ряда составленного из
производных; см. утверждение 4) настоящего параграфа. Достаточно поэтому установить мажорируемость ряда
...,)(...)()()(
2
210
+
′
++
′
+
′
+
′
n
n
xaxaxaa
т.е.
1
1=
−
∞
∑
n
n
n
xna (8.5.6)
на любом отрезке ).,(],[ RR−⊂ρρ− Доказательство мажорируемости проведем в предположении, что существует предел,
обозначенный через
D в (8.5.5); следовательно
D
R
1
=
.
Определим радиус сходимости R
~
ряда (8.5.6). Соответствующее число Даламбера имеет вид
=
||
||1)(
lim=
~
1
n
n
n
an
an
D
+
∞→
+
,1=
||
||
lim)
1
lim(
1
D
a
a
n
n
n
n
nn
⋅⋅
+
+
∞→∞→
следовательно,
D
R
1
=
~
. Таким образом, RR =
~
, и интервалы сходимости рядов (8.5.4), (8.5.6) совпадают. Окончательно, име-
ем мажорируемость ряда (8.5.6) на всяком отрезке
),(],[ RR
−
⊂
ρ
ρ
−
, а значит и возможность почленного дифференцирова-
ния исходного степенного ряда (8.5.4).
4
0
. Если рассуждения п. 3 применить к ряду из производных (8.5.6), то получаем возможность и его почленного диффе-
ренцирования в интервале
),( RR− . Повторяя и далее указанные рассуждения, приходим к следующему важному выводу:
степенной ряд, обладающий суммой
)(xS в некотором интервале сходимости, можно почленно дифференцировaть сколь
угодно много раз в этом интервале; при этом сумма ряда из п-х производных совпадает с
)(
)(
xS
n
.
5
0
. Примеры.
1. Найти область сходимости ряда
nx
n
e
−
∞
∑
0=
.
Решение. Имеем функциональный ряд, который становится степенным после замены переменной
x
ey
−
= :
.
0=
n
n
y
∑
∞
Получена сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем y . Ряд сходится тогда и только тогда (п. 6
параграфа 8.1), когда
1<|| y . Значит, область сходимости определяется неравенством 1<
x
e
−
, откуда 0<x− , так что 0>x .
Окончательно получили, что область сходимости ряда есть полупрямая
0>x .
2. Найти область сходимости ряда

Страницы