Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0,=lim
n
n
ρ
∞→
и докажем сформулированный в параграфе 2.4 достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
Теорема. Если существует числовая последовательность
}{
n
α
, такая что для всех ...2,1,= , nGz ∈ имеют место
оценки
nn
zu α
≤
|)(| (8.4.2)
и ряд
n
n
α
∑
∞
1=
(8.4.3)
– сходящийся, то ряд (8.4.1) равномерно сходится на G .
При выполнении условий теоремы 1 говорят, что ряд (8.4.1) мажорируем на
G , а знакоположительный ряд (8.4.3) на-
зывается мажорантным. В этих терминах теорема может быть сформулирована так: мажорируемый на
G функциональный
ряд сходится равномерно на
G .
Отметим также (не приводя здесь соответствующих примеров), что условие мажорируемости является лишь достаточ-
ным для равномерной сходимости, но не является необходимым.
Доказательство. Ввиду соотношения (8.4.2), выполненного на
G , имеем абсолютную сходимость (на G ) ряда (8.4.1) к
некоторой сумме
)(zS ; при этом
),(=)()( zrzSzS
nn
−
(8.4.4)
где −)(zr
n
сумма ряда-остатка (см. п. 4 параграфа 8.1).
По определению суммы ряда и ввиду сохранения для функций комплексного переменного привычных свойств пределов
(предельный переход под знаком модуля и предельный переход в неравенстве) имеем
≤
+
+
+
+
+
∞→
+
∞→
|)(...)(|lim=|))(...)((lim|=|)(|
11
zuzuzuzuzr
mn
m
mn
m
n
)...(lim|))(|...|)((|lim
11 mn
m
mn
m
zuzu
α
+
+
α≤++≤
+
∞→
+
∞→
.
Cумма под знаком последнего написанного предела представляет собою m-ю частичную сумму n-го остатка числового ря-
да (8.4.3), а значение предела – сумма его n-го остатка, которую мы обозначим через
*
n
r
:
.|)(|
*
nn
rzr ≤
Ввиду сходимости ряда (8.4.3) имеем (п. 4 параграфа 8.1) 0
*
→
n
r при
∞
→n . Согласно (8.4.4), в определении равно-
мерной сходимости функционального ряда при выполнении условия теоремы тогда имеем
*
|)(|max=|)()(|max=|)()(|max=
nn
Gz
n
Gz
n
Gz
n
rzrzSzSzSzS ≤−−ρ
∈∈∈
и, следовательно,
0,=lim
n
n
ρ
∞→
что и означает равномерную (на G ) сходимость ряда (8.4.1).
2
0
. Теорема 2. Если ряд (8.4.1), составленный из функций )(zu
n
, непрерывных на замкнутой ограниченной области
G , равномерно сходится на этой области, то его сумма )(zS непрерывна в каждой точке Gz ∈
0
, т.e.
).(=)(lim
0
0
zSzS
zz→
(8.4.5)
Доказательство. Оценим |)()(|
0
zSzS − . Имеем, в силу (8.4.4),
≤
+
−
+
− |))()(())()((|=|)()(|
000
zrzSzrzSzSzS
nnnn
=|)(|max2|)()(||))(||)(||)()((|
000
zrzSzSzrzrzSzS
n
Gz
nnnnnn
∈
+
−
≤
+
+−≤
,2|)()(=|
0 nnn
zSzS
ρ
+
−
(8.4.6)
где, по определению равномерной сходимости ряда, 0→
ρ
n
при
∞
→n . Поскольку конечная сумма )(zS
n
непрерывных (на
G ) функций является непрерывной, имеем
)(=)(lim
0
0
zSzS
nn
zz→
или 0,|=)()(|lim
0
0
zSzS
nn
zz
−
→
а тогда в силу (8.4.6),

Страницы