Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.= ,=
−+−+
+σ−
nnnnnn
SSSSS
Последовательность (8.3.7) имеет предел (ввиду сходимости ряда (8.3.5)), а значит является ограниченной, т.е. сущест-
вует постоянная
0>C , такая что C
n
≤σ при всех n . Ясно, что тогда =
−++
+≤
nnn
SSS ,= C
n
≤σ и, точно так же,
CS
nn
≤σ≤
−
. Значит, последовательности
+
n
S и
−
n
S , будучи возрастающими и ограниченными, имеют конечные пределы.
Тогда имеет предел их разность
n
S , что и означает сходимость ряда (8.3.4).
3
0
. Вернемся к рассмотрению ряда с комплексными членами
,
1=
n
n
w
∑
∞
(8.3.8)
одновременно рассматривая соответствующий ряд из модулей
.||
1=
n
n
w
∑
∞
(8.3.9)
Рассмотрим также два ряда, составленные из действительных частей и мнимых частей последовательности }{
n
w :
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(8.3.10)
где ...2,1,= ,Im= ,Re= nwvwu
nnnn
.
В параграфе 2.3 (теорема п. 4) доказано, что если сходится ряд из модулей (8.3.9), то сходится и ряд (8.3.8).
В этом случае говорят, что (8.3.8) сходится абсолютно.
Выше показано (на примере ряда из действительных чисел), что числовой ряд может сходиться, тогда как ряд из моду-
лей расходится. В этом случае сходимость ряда (8.3.8) называют условной.
Теорема 3. Ряд (8.3.8) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда (8.3.10).
Доказательство. При доказательстве теоремы п. 4 параграфа 2.3 уже установлено, что из сходимости (8.3.9) вы-
текает абсолютная сходимость обоих рядов (8.3.10). Остается установить обратное утверждение. Заметим, что при каждом n
наибольшее из двух чисел
||
n
u и ||
n
v не превосходит их суммы ||||
nn
vu
+
, а тогда
=|})||,{|max(|})||,{|max (|=|
2222
nnnnnnn
vuvuvuw +≤+
.2|)||(|2|})||,{|max(=
nnnn
vuvu +≤
Если теперь абсолютно сходятся оба ряда (8.3.10), то будет сходящимся и ряд
2|)||(|
1=
nn
n
vu +
∑
∞
(см. простейшие свойства сходящихся рядов, п. 2 параграфа 8.1). Согласно теореме 1 сравнения будем иметь тогда сходи-
мость (8.3.9), чем и завершается доказательство теоремы 3.
4
0
. Как следует из результатов пп. 2, 3, достаточные условия сходимости ряда из модулей (8.3.9) являются одновремен-
но и достаточными условиями сходимости ряда комплексных чисел (8.3.8). Поэтому признаки сходимости знакоположи-
тельных рядов, которым мы выше уделили столь значительное внимание, выступают здесь признаками сходимости (абсо-
лютной) рядов с комплексными членами. Уточним последнюю мысль.
Пусть существует предел вида
n
n
n
wK ||lim=
∞→
(будем называть его числом Коши). Если
1<
K
, то ряд (8.3.8) сходится абсолютно. Если же
1>
K
, то ряд (8.3.8) расходится.
Стоит отметить, что при
1>
K
ряд из модулей (8.3.9) расходится ввиду того, что не выполнен необходимый признак
сходимости (см. доказательство теоремы 3 параграфа 8.2), но тогда не могут стремиться к нулю и члены
n
w ; таким образом
и ряд (8.3.8) оказывается расходящимся.
Аналогично обстоит дело и с "числом Даламбера"
:
||
||
lim=
1
n
n
n
w
w
D
+
∞→
если
1<D
, то ряд (8.3.8) сходится абсолютно; если же
1>D
, то (8.3.8) расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
.
2
sin1)(
1=
n
n
n
i
π
−
∑
∞

Страницы