Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8.3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
1
0
. Рассмотрим знакоположительную последовательность
....2,1,= 0,> , },{ naaa
nnn
R
∈
(8.3.1)
Ряд вида
n
n
n
n
n
aaaaa
1
1=
1
321
1)(=...1)(...
−
∞
−
−+−+−+−
∑
(8.3.2)
называется знакочередующимся. Достаточным признаком его сходимости является следующий признак Лейбница, который
мы приводим без доказательства.
Теорема 1. Если последовательность (8.3.1) является убывающей и
0,=lim
n
n
a
∞→
то знакочередующийся ряд (8.3.2) сходится.
Пример 1. Ряд вида
...
1
1)(...
3
1
2
1
1
1
+−+−+−
−
n
n
(8.3.3)
является сходящимся, поскольку выполнены оба условия признака Лейбница: последовательность
n
1
является, очевидно,
убывающей и имеет место соотношение
0.=
1
lim
n
n ∞→
2
0
. Рассмотрим ряд из действительных чисел
,
1=
n
n
u
∑
∞
(8.3.4)
среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные числа; такой ряд называется знакопеременным.
Рассмотрим также ряд, составленный из абсолютных величин членов (8.3.1):
.||
1=
n
n
u
∑
∞
(8.3.5)
Будем считать, что количество как положительных, так и отрицательных членов в (8.3.4) является бесконечным, так как
в противном случае вопрос о сходимости сводится к случаю знакоположительных рядов. В самом деле, если, например, ко-
личество положительных членов в (8.3.4) оказывается конечным, то, начиная с некоторого номера, все члены ряда будут от-
рицательными. Тогда поведение ряда определяется поведением этого остатка (свойство п. 4 параграфа 8.1), состоящего
только из отрицательных членов. Если же изменить знаки всех членов ряда – остатка на противоположные, т.е. умножить
все члены на (–1), то его поведение не изменится (свойство п. 2 параграфа 8.1). Таким образом, вопрос сведен к исследова-
нию сходимости полученного знакоположительного ряда.
Теорема 2. Если сходится ряд (8.3.5), то сходится и ряд (8.3.4).
Сходимость ряда (8.3.4) в этом случае называется абсолютной.
Обратное утверждение неверно: знакопеременный ряд может быть сходящимся, тогда как (8.3.5) – расходящийся. При-
мером служит (8.3.3), для которого ряд из абсолютных величин – это расходящийся (параграф 8.1, п. 1) гармонический ряд.
Доказательство теоремы 2. Пусть
nn
uuuS ++
+
...=
21
(8.3.6)
– п-я частичная сумма ряда (8.3.4), а
||...|||=|
21 nn
uuu ++
+
σ
(8.3.7)
– п-я частичная сумма ряда из абсолютных величин (8.3.5).
Выделим в (8.3.6) сумму всех положительных членов, и обозначим ее через
+
n
S , а сумму абсолютных величин всех от-
рицательных членов (в составе
n
S ) обозначим через
−
n
S
. Суммы
+
n
S
и
−
n
S
, составленные из положительных чисел, возрас-
тают с ростом п. Тогда, очевидно,

Страницы