ВУЗ:
Составители:
и ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
Теорема полностью доказана.
Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть существует предел вида
n
n
n
a
a
D
1
lim=
+
∞→
. (8.2.10)
Если 1<D , то ряд (8.2.1) сходится; если же 1>D , то ряд расходится.
Замечание. В случае
1=D (подобно признаку Коши) теорема 2 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Доказательство мы не приводим, но его идея та же, что и в случае теоремы 1. Отметим только (это потребуется в даль-
нейшем), что при
1>D расходимость ряда имеет место ввиду нарушения необходимого признака сходимости – достаточно-
го признака расходимости (cм. доказательство признака Коши).
Пример 3. Исследовать сходимость ряда.
2
1
1=
n
n
n
n
+
∑
∞
.
Решение. Имеем знакоположительный ряд с общим членом
,
1
=
2
n
n
n
n
a
+
вид которого наводит на мысль использовать признак Коши. Имеем
.=
1
lim=lim= e
n
n
aK
n
n
n
n
n
+
∞→∞→
Поскольку 1>2,71...== eK , то данный ряд расходится.
5
0
. Следующий признак позволяет свести вопрос об исследовании сходимости знакоположительного ряда к более зна-
комой задаче об исследовании сходимости несобственного интеграла.
Рассмотрим аналитическое выражение общего члена
n
a (формулу, которой он задан) ряда (8.2.1) и заменим в ней n на
x
. В результате получим некоторую функцию )(xa . Пусть эта функция непрерывна и убывает на промежутке )[1,
∞
+
.
Теорема 3 (интегральный признак Коши). Если несобственный интеграл
∫
∞
1
)( dxxa (8.2.11)
сходится, то сходится и ряд (8.2.1); если же интеграл (8.2.11) расходится, то расходится и ряд.
Доказательство основано на следующем неравенстве:
.<)(<
1
11
∫
−
−
n
nn
SdxxaaS
Чтобы его доказать, используем следующие рассуждения геометрического характера (см. рис. 8.2.1).
Рис. 8.2.1
Значение
∫
n
dxxa
1
)( есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком )(= xay , основанием кото-
рой является отрезок
][1, n
. Точки с координатами ),(
n
an расположены на графике )(= xay , a
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
