Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n
n
∑
∞
2
1
3
1=
составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом 3=a и знаменателем
2
1
=
q , меньшим единицы; следова-
тельно этот ряд сходится. По теореме 1 сравнения тогда сходится и данный ряд.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
.
13
2
1=
++
∑
∞
nn
n
n
Решение. При больших значениях n поведение общего члена ряда
13
=
2
++ nn
n
a
n
определяется поведением старших степеней параметра n, что наводит на мысль рассмотреть последовательность }{
n
b с об-
щим членом
n
n
n
b
n
1
==
2
и сравнить (на основании признака в предельной форме) данный ряд с
;
1
1=
n
n
∑
∞
последний (гармонический) ряд, как установлено выше, является расходящимся. Имеем
=
++
∞→∞→
n
nn
n
b
a
L
n
n
n
n
1
:
13
lim=lim=
2
1,=
)1/3/(1
lim=
13
lim=
22
2
2
2
nnn
n
nn
n
nn
++++
∞→∞→
т.е. 0≠L , откуда заключаем, что поведение сравниваемых рядов одинаково, а значит данный ряд расходится.
4
0
. Использование признаков сравнения знакоположительных рядов предполагает наличие некоторого эталона для
сравнения. Было бы полезно дополнить список признаков такими, которые позволяли бы исследовать поведение ряда, исхо-
дя лишь из вида его общего члена. Такие признаки предлагаются в настоящем и следующем пунктах параграфа.
Пусть дан знакоположительный ряд (8.2.1).
Теорема 3 (радикальный признак Коши). Пусть существует предел вида
n
n
n
aK
∞→
lim=
. (8.2.8)
Если
1<
K
, то ряд (8.2.1) сходится; если же
1>
K
, то ряд расходится.
Замечание. В случае
1=
K
признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: существуют примеры как
сходящихся, так и расходящихся рядов, для которых
1=
K
.
Доказательство. Согласно (8.2.8) и определению предела, для каждого
0>
ε
существует номер N , такой что не-
равенство
ε− |<| Ka
n
n
имеет место при всех Nn > . Из последнего соотношения (при указанных п) вытекает, что
ε+ε− KaK
n
n
<< . (8.2.9)
Случай 1: 1<
K
. Ввиду произвольности выбора
ε
положим K
−
ε
1<<0 и обозначим ε+Kq = , так что 1<<0 q .
Из (8.2.9)
выте-
кает тогда, что
n
n
Ka )(< ε+ или
n
n
qa < при всех Nn > . Поскольку сумма членов геометрической прогрессии
n
Nn
q
∑
∞
+
1=
является сходящимся рядом, то по первой теореме сравнения (см. также замечание к ней) сходится и ряд (8.2.1).
Случай 2:
1>
K
. В этом случае выберем
ε
так, что 1<<0
−
ε
K и обозначим ε−KQ = , так что 1>Q . Из (8.2.9) вы-
текает тогда, что
n
n
Ka )(> ε+ или
n
n
Qa > при всех Nn > . Но в этом случае члены ряда (8.2.1) не могут стремиться к нулю

Страницы