Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1 (сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда
n
n
a
∑
∞
1=
(8.2.2)
и
n
n
b
∑
∞
1=
, (8.2.3)
и при всех ...2,1,=n имеет место неравенство
.
nn
ba
≤
(8.2.4)
Тогда: 1) если сходится ряд (8.2.3) (к некоторой сумме В), то сходится и ряд (8.2.2) (к некоторой сумме А); при этом для
их сумм имеет место соотношение
B
A
≤
;
2) если ряд (8.2.2) расходится, то расходится и ряд (8.2.3).
З а м е ч а н и е. Согласно свойству п. 4 параграфа 8.1 (отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет
на сходимость ряда) утверждение теоремы имеет место, если соотношение (8.2.4) выполняется не при всех п, а лишь начиная
с некоторого номера N.
Доказательство. 1) Если ряд (8.2.3)сходится, то последовательность
}{
n
B его частичных сумм (как сходящаяся
последовательность) ограничена сверху некоторой постоянной
CBC
n
≤
: . Если также
{
}
n
A – последовательность частич-
ных сумм ряда (8.2.2), то из неравенства (8.2.4) вытекает, что
CBA
nn
≤
≤
(8.2.5)
при всех п. Следовательно, последовательность
{}
n
A ограничена сверху, а тогда по лемме п. 1 ряд (8.2.2) сходится. Переходя к
пределу в неравенстве (8.2.5), получаем также
B
A
≤ . Утверждение 1) установлено.
2) Если ряд (8.2.2) расходится, то (8.2.3) не может быть сходящимся по доказанному утверждению 1): тогда, согласно
(8.2.4), обязан был бы сходиться и ряд (8.2.2). Теорема 1 полностью доказана.
3
0
. Теорема 2 (сравнения в предельной форме). Пусть даны два знакоположительных ряда (8.2.2) и (8.2.3), причем
существует предел вида
0.> ,lim= L
b
a
L
n
n
n
∞→
(8.2.6)
Тогда ряды (8.2.2) и (8.2.3) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Согласно (8.2.6) и определению предела, для каждого
L<0,>
ε
ε
существует номер N , такой что не-
равенство
ε− <L
b
a
n
n
имеет место при всех Nn > . Из последнего соотношения (при указанных п) вытекает, что
ε−ε− << L
b
a
n
n
,
или, одновременно,
.
1
< ,)(<
nnnn
a
L
bbLa
ε−
ε+
(8.2.7)
Согласно выбору ε имеет место оценки 0>ε+L и 0>
ε
−
L . Тогда по свойству п. 2 параграфа 8.1 ряд с общим членом
n
aL )( ε− ведет себя так же, как (8.2.2), а ряд с членами
n
bL )(
ε
+
– как (8.2.3). Теперь, в силу теоремы 1, первое неравенство
в (8.2.7) будет означать, что из сходимости (8.2.3) вытекает сходимость (8.2.2), а из расходимости (8.2.2) – расходимость
(8.2.3). Аналогичные утверждения следуют из второго неравенства в (8.2.7), если "поменять ролями" (8.2.2) и (8.2.3). Таким
образом, поведение рядов (8.2.2) и (8.2.3) – одинаково, что и утверждалось.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
.
1)(2
12
1=
n
n
n
n
+
+
∑
∞
Решение. Оценим сверху общий член ряда:
.
2
1
3
2
112
=
2
12
nn
n
n
nn
n
n
n
a
≤
+
+
<
Ряд вида

Страницы