Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В частности, при
0=ρ
, 0≠τ получаем что ряд
n
n
uτ
∑
∞
1=
имеет то же поведение, что и
.
1=
n
n
u
∑
∞
Если исходный ряд был сходящимся, то его сумма умножится на τ.
3
0
. Пусть ...2,1,= ,= nivuw
nnn
+ , так что
n
u – действительная, a
n
v – мнимая части
n
w . Ряд (8.1.1) тогда можно за-
писать в виде
.)(
1=
nn
n
ivu +
∑
∞
Применяя доказанное в п. 2
0
свойство, получаем следующее утверждение.
Если сходятся ряды
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(8.1.5)
составленные из действительных и мнимых частей последовательности
n
w , то сходится и ряд (8.1.1).
Верно и обратное: если сходится ряд (8.1.1), то имеет место сходимость обоих рядов (8.1.5); утверждение (как, впрочем,
и предыдущее) вытекает из свойств пп. 2 и 3 параграфа 2.2, поскольку последовательности частичных сумм (n-го порядка)
рядов (8.1.5) представляют собою, соответственно, действительную и мнимую часть сходящейся последовательности
n
S .
4
0
. По заданной бесконечной последовательности }{
n
w построим теперь ряд вида
...,
21
+
+
++ NN
ww (8.1.6)
где ...2,1,=N и назовем его N-м остатком ряда (8.1.1); иными словами, N-й остаток (8.1.1) есть ряд, полученный отбрасыва-
нием первых N членов.
Обозначим при
Nn > через
nN
S
,
п-ю частичную сумму ряда-остатка (8.1.6)
nNnN
wwS
+
+
+
...=
1,
и, в случае его сходимости, через
N
RR = – сумму этого ряда, т.е.
nN
n
N
SR
,
lim=
∞→
.
Докажем, что ряд (8.1.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый его ряд-остаток (8.1.6). Другими
словами, установим, что отбрасывание или добавление конечного числа (первых) членов не влияет на сходимость данного
ряда.
Действительно, при
Nn > частичная сумма ряда (8.1.1) есть
,=......=
,11 nNNnNNn
SSwwwwS
+
+
+
+
+
+
+
откуда следует, что
n
S и
nN
S
,
отличаются на фиксированную величину
N
S , а значит одновременно имеют или не имеют
предел при ∞→n . Итак, ряды (8.1.1) и (8.1.6) сходятся или расходятся одновременно.
Установим также следующее свойство остатка: если (8.1.1) является сходящимся, то
0.=lim
N
N
R
∞→
Действительно, если перейти к пределу при
∞
→n в только что установленном равенстве ,=
,nNNn
SSS + то получим
,=
NN
RSS − где
N
R сумма N-го остатка. Теперь, устремляя
∞
→N в последнем соотношении и пользуясь сходимостью (к
сумме
S ) ряда (8.1.1), имеем стремление к нулю последовательности
N
R , что и утверждалось.
5
0
. В целях полноты изложения приведем здесь еще раз формулировки необходимого признака сходимости ряда и дос-
таточного признака расходимости, доказанных в параграфе 2.3.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (8.1.1) сходится, то существует предел (при ∞→n ) его общего чле-
на
n
w , причем
0.=lim
n
n
w
∞→
Обратное утверждение неверно.

Страницы