Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Г л а в а 8
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛОВЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДАХ
8.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
Изложим подробнее основные понятия и факты теории числовых рядов, на которые мы в значительной степени опира-
лись в главе 2.
1
0
. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел ...,...,, ,,
321 n
wwww . Формально составленная бес-
конечная сумма вида
......
321
+
+
+
+
+
n
wwww
или, коротко,
n
n
w
∑
∞
1=
(8.1.1)
называется числовым рядом; общий член последовательности }{
n
w называется общим членом ряда (8.1.1).
Обозначим через
nn
wwwwS
+
+
+
+
...=
321
п-ю частичную сумму ряда (8.1.1); при этом, по определению,
11
= wS .
Если существует предел вида
,lim=
n
n
SS
∞→
то числовой ряд (8.1.1) называется сходящимся, а в противном случае – расходящимся.
Число
S назовем суммой сходящегося ряда; говорят также, что ряд (8.1.1) сходится к сумме S и применяют запись
n
n
wS
∑
∞
1=
= .
Главная задача, которая решается в теории числовых рядов – сходится или расходится данный ряд; вопрос о его сумме
можно ставить лишь тогда, когда доказана сходимость. Сумму же сходящегося ряда всегда можно вычислить приближенно,
взяв достаточно большое количество п членов в составе его частичной суммы
n
S ; при этом точность вычисления увеличива-
ется с ростом п.
Пример 1. Доказать сходимость ряда
1)(
1=
+
∑
∞
nn
i
n
и найти его сумму.
Р е ш е н и е. Воспользуемся определением сходимости ряда и его суммы, для чего вычислим частичную сумму произ-
вольного (п-го) порядка. Преобразуем общий член ряда к виду
+
−
+
−+
+ 1
11
=
1)(
1)(
=
1)( nn
i
nn
nn
i
nn
i
и сложим первые п членов. При этом мы обнаруживаем, что члены, начиная со второго и кончая предпоследним, будут вза-
имно уничтожаться:
.
1
1
1=
1
111
1
1
...
3
1
2
1
2
1
1=
+
−
+
−+
−
−
++
−+
−
n
i
nnnn
iS
n
Теперь вычисляем следующий предел:
i
n
iS
n
n
n
=
1
1
1lim=lim
+
−
∞→∞→
.
Таким образом, ряд оказался сходящимся и его сумма iS = .
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
n
n
1
1=
∑
∞
.
Р е ш е н и е. Данный ряд состоит из действительных чисел; исследование разобьем на несколько этапов.

Страницы