Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1. Поведение частичных сумм ряда определится следующей оценкой его общего члена:
nn
n
ln1)(ln>
1
−+ .
2. Доказательство этой оценки основано на неравенстве
0,> ,<)(1ln xxx
+
(8.1.2)
которое мы сейчас установим (читателю рекомендуется изобразить графики левой и правой части неравенства). Разность
левой и правой частей (8.1.2)
xxxy
−
+
)(1ln=)(
– убывающая функция, поскольку 0<1
1
1
=)( −
+
′
x
xy при 0>x .
Кроме того очевидно, что
0=(0)y ; значит разность )(xy остается отрицательной: 0<)(1ln xx −+ при всех 0>x . Это и
утверждалось в соотношении (8.1.2).
3. Выбирая
n
x
1
=
в (8.1.2), имеем неравенство
nn
n
n
nn
ln1)(ln=
1
ln=
1
1ln>
1
−+
+
+ ,
для общего члена ряда, которое мы и хотели установить.
4. Теперь частичная сумма п-го порядка
nn
S
n
1
1
1
...
3
1
2
1
1= +
−
++++
имеет оценку снизу
1),(ln=) ln1)(ln()1)(lnln(
...2)ln3ln(1)ln2ln(>
+−++−−+
++−+−
nnnnn
S
n
откуда вытекает, что ∞→
n
S вместе с 1)(ln +n при
∞
→n .
Итак, исследуемый ряд расходится.
З а м е ч а н и е. Указанный ряд называется гармоническим. Ниже будет рассмотрен более общий случай так называе-
мого ряда Дирихле (иначе называемого обобщенным гармоническим рядом).
2
0
. Установим некоторые свойства сходящихся рядов. Пусть даны произвольные комплексные числа
ρ
τ, и сходящиеся
числовые ряды
, ,
1=1=
n
n
n
n
vu
∑∑
∞∞
(8.1.3)
суммы которых равны U и V соответственно.
Тогда ряд
)(
1=
nn
n
vu ρ+τ
∑
∞
(8.1.4)
сходится и его сумма равна VU ρ+τ .
Доказательство легко следует из определений сходимости и суммы ряда. Исключим из рассмотрения случай
0==
ρ
τ
, в
котором
утверждение становится очевидным (сумма ряда, состоящего из нулей, равна нулю) и запишем п-ю частичную сумму иссле-
дуемого ряда (8.1.4):
=)(...)()(=
2211 nnn
vuvuvuS
ρ
+
τ
+
+
ρ
+
τ
+
ρ
+τ
,=)...()..(=
2121 nnnn
VUvvvuuu
ρ
+
τ
+
+
+
ρ
+
+
+
+τ
где
nn
VU , – частичные суммы соответствующих рядов (8.1.3). В силу их сходимости имеем
.=limlim=lim VUVUS
n
n
n
n
n
n
ρ
+
τ
ρ
+
τ
∞→∞→∞→
Итак, ряд (8.1.4) оказался (на основании определения) сходящимся к сумме .VU
ρ
+
τ

Страницы