Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Достаточный признак расходимости. Если
0||lim ≠
∞→
n
n
w
(8.1.7)
(или если этот предел не существует), то ряд (8.1.1) расходится.
6
0
. Сумма геометрической прогрессии.
Пусть a и q – ненулевые комплексные числа. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию
...,,,...,,,
2 n
aqaqaqa
ряд, составленный из ее членов
n
n
n
aqaqaqaqa
∑
∞
+++++
0=
2
=...... , (8.1.8)
и исследуем его сходимость.
Случай 1:
1|| ≥q ; в этом случае ||||||=|| aqaaq
nn
≥⋅ . Могут представиться две возможности: либо
||lim
n
n
aq
∞→
не существует, либо он существует и согласно неравенству 1|| ≥q его значение не меньше числа 0>|| a . В обоих случаях,
по достаточному признаку расходимости ряда, получаем, что (8.1.8) расходится.
Случай 2:
1<|| q
; в этом случае п-я частичная сумма ряда (8.1.8) имеет вид
q
qa
S
n
n
−
−
1
)(1
=
(формула суммы первых членов геометрической прогрессии известна из школьного курса, причем ее доказательство сохра-
няется и для прогрессий с комплексными членами).
Вычислим теперь предел последовательности частичных сумм
.lim1
1
=lim
−
−
∞→∞→
n
n
n
n
q
q
a
S
Последний предел существует, так как очевидно, что 0=lim
n
n
q
∞→
при
1<|| q
. Теперь
,
1
=lim
q
a
S
n
n
−
∞→
т.е. ряд оказался сходящимся к сумме
.
1
=
q
a
S
−
Итак, мы установили, что ряд (8.1.8) с 0≠a является сходящимся тогда и только тогда, когда
1<|| q
и нашли в этом
случае его сумму.
8.2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1
0
. Рассмотрим случай, когда ряд
n
n
a
∑
∞
1=
(8.2.1)
составлен из действительных положительных чисел, т.е. порожден последовательностью ...2,1,= 0,> , },{ naaa
nnn
R∈ ;
такой ряд называют знакоположительным. Обозначим через
n
S частичную сумму ряда п-го порядка.
В вопросах исследования знакоположительных рядов потребуется следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Если последовательность
}{
n
S ограничена сверху, то ряд (8.2.1) сходится.
Доказательство. С ростом п последовательность
}{
n
S возрастает, так как в частичной сумме будут добавляться
положительные члены. Кроме того, по условию, эта последовательность ограничена. Но, как известно из анализа, всякая
возрастающая ограниченная последовательность имеет предел; в нашем случае существует (конечный) предел вида
n
n
S
∞→
lim
.
Это и означает сходимость ряда (8.2.1).
2
0
. Одним из способов исследования сходимости знакопожительного ряда является сравнение его общего члена с об-
щим членом некоторого ряда с известным поведением ("эталонного ряда"). Примером эталонного является ряд, составлен-
ный из членов бесконечной геометрической прогрессии (п. 6 параграфа 8.1). Другие примеры смотрите в конце настоящего
параграфа.

Страницы