Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

....=
321 nn
aaaaS
+
+
+
−
Первое слагаемое
22
1= aa ⋅ численно равно площади прямоугольника, основание которого есть отрезок 2][1, оси абс-
цисс, а высота
h равна
2
a ; второй член – площади прямоугольника с основанием 3][2, и высотой
3
= ah ;…; последний
член суммы
n
a численно совпадает с площадью прямоугольника, имеющего основанием отрезок ] 1,[ nn − и высоту, равную
n
a . Полученная ступенчатая фигура (см. рис. 8.2.1), состоящая из указанных прямоугольников, является вписанной по от-
ношению к криволинейной трапеции, а значит имеет площадь, меньшую, чем криволинейная трапеция, так что неравенство
∫
−
n
n
dxxaaS
1
1
)(<
доказано.
Аналогичны рассуждения в случае второго неравенства: сумма
1211
1...11=
−−
⋅+
+
⋅
+
⋅
nn
aaaS численно равна площади
описанной ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, основания которых – отрезки
]1,[...,3],[2, 2],[1, nn
−
, а высо-
ты равны, соответственно
121
...,,,
−n
aaa , так что площадь этой фигуры больше, чем площадь криволинейной трапеции.
В случае сходимости несобственного интеграла из неравенства
∫∫
∞
++
1
1
1
1
)(<)(< dxxaadxxaaS
n
n
получаем ограниченность последовательности частичных сумм и, следовательно (на основании леммы п. 1) ее сходимость. В
случае же расходимости несобственного интеграла и оценки
∫
−
n
n
dxxaS
1
1
)(>
имеем неограниченность
1−n
S , а значит, расходимость ряда.
Итак, ряд ведет себя так же, как несобственный интеграл (8.2.11), что и требовалось доказать.
Пример 4. Рассмотрим ряд (называемый рядом Дирихле)
. ,
1
1=
R∈
∑
∞
p
n
p
n
(8.2.12)
Докажем, что ряд (8.2.12) сходится при 1>p и расходится при остальных действительных значениях p .
Начнем со случая
1 0,> ≠pp и применим интегральный признак Коши. Заменяя в записи общего члена ряда n на
x
,
получим функцию
)[1, ,
1
=)( ∞+∈x
x
xa
p
. Ясно, что на указанном промежутке функция )(xa непрерывна и убывает. Иссле-
дуем теперь несобственный интеграл (8.2.11).
Если 1>p , то
=
1
=)(
11
∫∫
∞∞
dx
x
dxxa
p
.
1
1
=1
1
lim
1
1
=
1
lim=lim=
1
1
1
1
−
−
−−
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
∫
p
T
pp
x
dxx
p
T
T
p
T
T
p
T
Итак, исследуемый интеграл оказался сходящимся, откуда и следует сходимость ряда (8.2.12).
Если
1<<0 p , то тот же интеграл вычисляется в виде
,=1)(lim
1
1
=)(
1
1
+∞−
−
−
+∞→
∞
∫
p
T
T
p
dxxa
откуда следует расходимость ряда.
В случае
1=p снова применяем интегральный признак Коши с
x
xa
1
=)(
:
∫∫
∞∞
11
=)(
x
dx
dxxa
,=lnlim=)ln(lim=
1
+∞
+∞→+∞→
Tx
T
T
T
так что ряд (8.2.12) расходится; тем самым еще раз установлена расходимость гармонического ряда.
Наконец, при
0≤p
имеем
1= ≥
− p
n
na
, так что общий член ряда не стремится к нулю, а тогда ряд расходится по доста-
точному признаку расходимости.
Замечание. Если к гармоническому ряду применить признаки Коши и Даламбера, то, как нетрудно проверить, по-
лучится соответственно
1=
K
и
1=D
. В то же время условия
1=
K
и
1=D
выполняются и для членов сходящегося (
1>p
)
ряда Дирихле. Приведенные примеры подтверждают ранее сделанный вывод, что по одной только информации вида
1=
K
и
1=D о поведении ряда судить нельзя; следует провести дополнительное исследование: например, применить другие при-
знаки.

Страницы