Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Имеем общий член ряда в виде
2
sin1)(=
n
n
n
iw
π
−
и
0>
2
sin ,2|=1|
n
i
π
−
;
последнее неравенство имеет место, так как при ...2,1,=n значения аргумента
n
2
π
принадлежат первой четверти тригоно-
метрической окружности. Значит,
,
2
sin)2(|=|
n
n
n
w
π
⋅
а тогда число Даламбера
=
2
sin
2
sin
lim2=
2
sin)2(
2
sin)2(
lim=
||
||
lim=
11
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
w
w
D
π
π
π
⋅
π
⋅
+
∞→
+
+
∞→
+
∞→
;
2
2
=
2
2
lim2=
1
n
n
n
π
π
⋅
+
∞→
вычисляя последний предел, мы воспользовались эквивалентностью бесконечно малых tsin и
t
при 0→t в случаях, когда
значения
t
выбраны равными
1
2
+
π
n
и
n
2
π
.
Итак,
1<
2
2
=D , откуда следует, что данный ряд сходится абсолютно.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
.
1
1=
ni
n
n
−
∑
∞
Решение. Имеем
,
1
1
1
=
1
1
=
1
=
|1|
|=|
2
++
+
−
nn
n
n
n
n
ni
n
w
n
и теперь легко заметить, что ||
n
w не стремится к нулю:
1.|=|lim
n
n
w
∞→
Согласно достаточному признаку расходимости, данный ряд будет расходящимся.
8.4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
В настоящем параграфе мы докажем утверждения, на которые делались ссылки в параграфе 2.4.
1
0
. Пусть
)(zS
есть сумма функционального ряда
)(
1=
zu
n
n
∑
∞
(8.4.1)
на замкнутой ограниченной области G и при каждом п существует наибольшее значение модуля уклонения )(zS
n
от )(zS
...2,1,= |,)()(|max= nzSzS
n
Gz
n
−
ρ
∈
.
Напомним, что ряд (8.4.1) называется равномерно сходящимся на G к сумме )(zS
n
, если

Страницы