Элементы теории функций комплексного переменного. Нахман А.Д. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.2=2|)()(|lim|)()(|lim
00
00
nnnn
zzzz
zSzSzSzS
ρ
ρ
+−
≤
−
→→
(8.4.7)
Левая часть (8.4.7) не зависит от
n
и, следовательно, сохраняет свой вид при предельном переходе (по
n
), тогда как
правая стремится к нулю. Переходя к пределу при
∞
→n в обеих частях (8.4.7), получаем
0,|=)()(|lim
0
0
zSzS
zz
−
→
откуда и следует (8.4.5).
8.5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ:
СЛУЧАЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1
0
. Рассмотрение начнем с общих свойств равномерно сходящихся рядов функций ...)2,1,=( )( nxf
n
действительного
переменного
x
. Применительно к этому случаю формулировки выглядят следующим образом.
1) Ряд
)(
1=
xf
n
n
∑
∞
(8.5.1)
называется равномерно сходящимся на отрезке ],[ ba к сумме )(xS , если имеет место соотношение
0.|=)()(|maxlim
],[
xSxS
n
bax
n
−
∈
∞→
2) Если ряд (8.5.1) мажорируем на отрезке ],[ ba , то он обладает равномерной сходимостью на этом отрезке.
3) Ряд (8.5.1), составленный из функций, непрерывных на отрезке
],[ ba и равномерно сходящийся на ],[ ba , обладает
непрерывной на этом отрезке суммой и допускает возможность почленного интегрирования по всякому
],[],[ ba⊂
β
α .
4) Если ряды (8.5.1) и
)(
1=
xf
n
n
′
∑
∞
(8.5.2)
обладают равномерной сходимостью на отрезке ],[ ba , и суммы их равны, соответственно, функциям )(xS и )(x
φ
, то сумма
)(xS ряда (8.5.1) дифференцируема при всех ),( bax ∈ ; при этом ),( ),(=)( baxxxS
∈
φ
′
, т.е.
).(=)(
1=
xSxf
n
n
′′
∑
∞
Утверждения 2) и 3) являются частными случаями теорем, установленных выше: см. признак Вейерштрасса, доказан-
ный в п. 1 параграфа 8.4, свойство непрерывности суммы ряда и возможность почленного интегpирования, установленные в
п. 2 параграфа 8.4 и п. 3 параграфа 4.1.
Остается доказать утверждение 4). Ввиду равномерной сходимости ряда (8.5.2) можно произвести его почленное интег-
рирование по некоторому отрезку
],[],[ bax ⊂
α
. Имеем
.)(=)(
1=
∫∫
∑
αα
∞
φ
′
xx
n
n
dxxdxxf (8.5.3)
Поскольку
,...2,1,= ),()(=)( nfxfdxxf
nn
x
n
α−
′
∫
α
то левая часть последнего соотношения есть разность значений суммы )(xS , вычисленных в точках
x
и α :
.)(=)()(
∫
α
φα−
x
dxxSxS
Продифференцируем теперь обе части последнего соотношения и воспользуемся существованием производной инте-
грала с переменным верхним пределом; в нашем случае
).,( ),(=)( baxxdxx
x
∈φ
′
φ
∫
α
В результате получаем дифференцируемость )(xS и соотношение
),( ),(=))(()( baxxSxS
∈
φ
′
α
−
′
;
при этом 0=))((
′
αS , так как −α постоянная величина. Утверждение доказано.

Страницы