ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРА ВИНЕРА
Цель работы:
Исследование фильтра Винера при построении оценок
отсчетов авторегрессионных последовательностей первого и второго порядков.
Теоретические сведения
Представленный скалярный фильтр Калмана дает оптимальные оценки
только для авторегрессионных моделей СП первого порядка. Рассмотрим
общий подход, позволяющий строить оптимальные оценки для любых моделей
гауссовских последовательностей.
Пусть имеется аддитивная модель наблюдений
iii
xy
η
+
=
, при
,...2,1
=
i
,
где
i
x
- значения отсчетов исходного гауссовского сигнала;
i
η
- гауссовская
шумовая составляющая с нулевым МО и дисперсией
2
σ
. Оптимальную оценку
отсчета
i
x
)
можно построить на основе линейного алгоритма:
1
N
T
iijji
j
x
yY
α
α
=
==
∑
)
,
где
12
[, ,..., ]
T
iii iN
ααα α
=
- вектор весовых коэффициентов;
12
[, ,..., ]
T
N
Yyy y=
-
вектор наблюдений;
N
- число наблюдений, по которым строится оценка.
Коэффициенты
i
α
выбираются таким образом, чтобы минимизировать
выбранный показатель качества. Если в качестве критерия качества построения
оценок выбрать дисперсию ошибки фильтрации
{
}
()
{
}
2
22
ii ii
MMxx
ε
σε
==−
)
,
то оптимальный вектор весовых коэффициентов можно найти из решения
уравнения
(){}
()
()(){}
022
2
=++−−=−−=
∂
∂
TTT
ii
TT
ii
T
i
i
XXxMYYxM
ηηαα
α
σ
ε
,
где
T
N
xxX ],...,[
1
=
- вектор из
N
отсчетов сигнала
{
}
i
x
;
T
N
],...,[
1
ηηη
=
-
вектор шума наблюдений. Раскрывая знак МО, получаем
()
(
)
1
)(
−
+=⇒=+
ηη
αα
VBPPVB
x
T
i
T
opti
T
ix
T
i
,
где
{
}
T
i
T
i
XxMP =
- вектор взаимной корреляции оцениваемого отсчета с
элементами вектора X ;
{
}
T
x
XXMB =
- ковариационная матрица отсчетов
вектора X ;
{
}
T
MV
ηη
η
=
- диагональная матрица дисперсий шума
наблюдений.
Подставляя вычисленные оптимальные коэффициенты
T
opti )(
α
в выражение
дисперсии ошибки, и раскрывая знак МО, можно записать
