Оптические методы в информатике. Наний О.Е - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

57
входного светового сигнала, в общем случае комплексная функция
времени. Представим
)0,(tA
в виде интеграла Фурье:
dtiAtA
T
F
T
})(exp{)()0,(
0
(6.9)
Функция
)(
F
A
есть преобразование Фурье от амплитуды входного
импульса:
dttitAA
TT
F
})(exp{)(
2
1
)(
0
(6.10)
Поскольку каждая Фурье-компонента светового импульса в линейной
среде распространяется независимо от других, то мы можем
сконструировать функцию
),( ztE
в виде
dzktiAztE
T
F
}])([exp{)(),(
,
. (6.11)
Выражение (6.11) справедливо при любой спектральной плотности
)(
F
A
и при любой зависимости волнового вектора от частоты
)(
k
, и
в этом смысле оно общее и точное. Но, поскольку в данном решении
пренебрегается нелинейными эффектами, то с этой точки зрения оно
является приближенным.
Самый простой случай отвечает распространению импульса в
вакууме:
0,(exp)(),(
c
z
tEd
c
z
tiAztE
T
F
,
c
k
, (6.12)
т.е. сигналы (импульсы) распространяются как целое со скоростью
света в вакууме и не изменяют своей формы. Это вполне понятно, т.к.
гармоники распространяются с одинаковой скоростью, и между ними
не возникает дополнительный набег фаз.
В реальных средах с дисперсией скорости распространения
гармоник различны и между ними указанные набеги фаз возникают.
Рассмотрим детальнее распространение импульса с относительно
узким спектром
)(
F
A
и центральной частотой
0
. Разложим
зависимость
)(
k
в степенной ряд около
0
и ограничимся первыми
членами разложения:
2
0
2
2
00
)(
2
1
)()(
d
kd
d
dk
kk
,
)(
00
kk
. (6.13)
Если пренебречь квадратичным членом разложения, что допустимо
при выполнении условия
z
d
kd
2
0
2
2
)(
2
1
1 (6.14)
и учесть, что согласно (6.1)
G
vddk /1/
, то (6.11) примет ид 
                                                                 57



входного светового сигнала, в общем случае комплексная функция
времени. Представим A(t ,0) в виде интеграла Фурье:
                      
   AT (t ,0)         A          ( ) exp{i(   0 )t}d
                              T
                              F                                                             (6.9)
                   

Функция AF ( ) есть преобразование Фурье от амплитуды входного
импульса:
                           
                   1
   AFT ( )               A          (t ) exp{i(  0 )t}dt
                                   T
                                                                                            (6.10)
                  2      

Поскольку каждая Фурье-компонента светового импульса в линейной
среде распространяется независимо от других, то мы можем
сконструировать функцию E (t , z ) в виде
                  
                                                                            2
   E (t , z )    A          ( ) exp{i[t  k ( ) z ]}d , k 2 ( )          ( ) .
                          T
                          F                                                                 (6.11)
                  
                                                                            c2
   Выражение (6.11) справедливо при любой спектральной плотности
AF ( ) и при любой зависимости волнового вектора от частоты k ( ) , и
в этом смысле оно общее и точное. Но, поскольку в данном решении
пренебрегается нелинейными эффектами, то с этой точки зрения оно
является приближенным.
   Самый простой случай отвечает распространению импульса в
вакууме:
                  
                                                 z        z            
   E (t , z )    A          ( ) exp  i  (t  d  E  t  ,0  , k  ,
                          T
                          F                                                                 (6.12)
                                               c        c            c
т.е. сигналы (импульсы) распространяются как целое со скоростью
света в вакууме и не изменяют своей формы. Это вполне понятно, т.к.
гармоники распространяются с одинаковой скоростью, и между ними
не возникает дополнительный набег фаз.
    В реальных средах с дисперсией скорости распространения
гармоник различны и между ними указанные набеги фаз возникают.
Рассмотрим детальнее распространение импульса с относительно
узким спектром AF ( ) и центральной частотой  0 . Разложим
зависимость k ( ) в степенной ряд около  0 и ограничимся первыми
членами разложения:
                          dk             1 d 2k
   k ( )  k 0             (  0 )         (  0 ) 2 , k 0  k (0 ) .               (6.13)
                          d             2 d 2
  Если пренебречь квадратичным членом разложения, что допустимо
при выполнении условия
   1 d 2k
          (   0 ) 2 z 1                                                                (6.14)
   2 d 2
и учесть, что согласно (6.1) dk / d  1 / vG , то (6.11) примет ид

Страницы