Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 10 стр.

    1.4.1. Решение системы линейных уравнений методом прогонки.

     Во всех рассматриваемых случаях для нахождения величин уi
необходимо решать трехдиагональную систему линейных алгебраических
уравнений типа:
     ⎡a 1 b1 0 ... 0  0    0 ⎤ ⎡ y1   ⎤ ⎡α     ⎤
     ⎢                                     1
                                             ⎥   ⎢        ⎥ ⎢        ⎥
     ⎢c a b ... 0                     0 ⎥        ⎢        ⎥ ⎢        ⎥
                                                          ⎥ ⎢α 2
                               0
     ⎢ 2 2 2                                 ⎥   ⎢ y2                ⎥
     ⎢                                       ⎥   ⎢        ⎥ ⎢        ⎥
     ⎢⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅              ⋅ ⋅ ⋅ ⎥           ⎢M       ⎥ = ⎢M     ⎥.   (1.15)
     ⎢                                       ⎥   ⎢y       ⎥ ⎢α       ⎥
     ⎢0 0 0 ... c N −1         a N −1 b N −1 ⎥   ⎢ N −1   ⎥ ⎢ N −1   ⎥
     ⎢                                       ⎥   ⎢        ⎥ ⎢        ⎥
     ⎢0 0 0 ... 0              cN     aN ⎥       ⎢yN      ⎥ ⎢α N     ⎥
     ⎣                                       ⎦   ⎣        ⎦ ⎣        ⎦

     Такие системы эффективно решаются методом прогонки. Решение
будем искать в виде
           yi = vi yi+1 + ui ,      i = 1,2,...,N-1.       (1.16)
     Используя выражение для из yi-1 (1.16)
           yi-1 = vi-1 yi + ui-1 ,
исключим это неизвестное из i-го уравнения системы (1.15):
           ci yi-1 + ai yi + bi yi+1 = α i .
     Получим
           (ai + ci vi-1) yi + bi yi+1 = α i - ci ui-1.    (1.17)
Сравнивая (1.17) с (1.16), выводим рекуррентные формулы для
прогоночных коэффициентов vi , ui (прямая прогонка):
           v0 = u0 = 0;
                      bi
           vi = −                ;                                        (1.18)
                 a i + ci v i −1
               α −c u
           ui = i i i −1 ,            i = 1,2,...,N-1.
               a i + ci vi −1
     Очевидно, что yN = uN. Все остальные неизвестные находятся по
формулам (1.16) (обратная прогонка).



              1.5 Описание кривых в параметрическом виде
      В общем случае в задачах машинного проектирования кривые не
могут быть записаны в виде уравнения y = f (x) c использованием обычных
однозначных функций. Первая причина этого в том, что формы объектов в
технике не должны зависеть от системы координат. Кроме того, кривые
инженерных объектов могут иметь вертикальные касательные, что тесно
связано с многозначностью функций. Правда, кривая, заданная в неявном
виде F (x, y) = 0, свободна от этого недостатка. Но для такой функции при
вычислении текущих координат точек приходится каждый раз решать в