Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 8 стр.

              y




                                                                          x
                        a=x 0               xi           x N =b
                          Рис.1.4 Кубическая сплайн-функция

      Согласно           закону       Бернулли-Эйлера,    линеаризованное
дифференциальное уравнение изогнутой оси линейки имеет вид:
                                   EI s ′′ (х) = - М (х),
где s ′′ - вторая производная прогиба; М (х) - изгибающий момент,
изменяющийся линейно от одной точки опоры к другой; EI - жесткость.
      Проинтегрировав это уравнение, получим, что функция s (x),
описывающая профиль линейки, является кубическим многочленом между
двумя соседними точками и дважды непрерывно дифференцируемой
функцией на всем промежутке интегрирования. Таким образом, профиль
линейки описывается кубическим сплайном дефекта 1 или просто
кубическим сплайном. Для определенности задачи на концах должны быть
заданы краевые условия, в частности, при отсутствии внешних нагрузок на
линейку s ′′ (х0) = s ′′ (хN) = 0.
      Кубические сплайны обладают рядом замечательных свойств,
которые обеспечили их успех в приложениях. Во-первых, это функции
наименьшей степени, имеющие непрерывные вторые производные. Во-
вторых, алгоритмы построения кубических сплайнов очень просты и
эффективно реализуются на ЭВМ, причем влияние ошибок округления при
вычислениях оказывается незначительным.
      Кроме того, кубические сплайны обладают интересными
экстремальными свойствами, связанными с тем фактом, что профиль рейки,
проходящей через заданные точки с краевыми условиями s ′ (х0) = f ′ (х0) и
s ′ (хN) = f ′ (хN)
                или s ′′ (х0) = s ′′ (хN) = 0, принимает форму, при которой
потенциальная энергия минимальна.           В линейном приближении это
выражается соотношением
              b                       b

              ∫ [ s ′′(x)]       dx ≤ ∫ [ f ′′(x)] dx ,
                             2                   2
                                                                                 (1.9)
              a                       a

где равенство имеет место только для f (x) = s (x).
      Пусть s (хi) = fi. Введем обозначение s ′ (xi) = mi, i = 0,1,...,N.
Тогда на каждом интервале[xi-1, xi] согласно (1.5)
      s( x ) = f i −1α 0 ( u ) + f iα 1 ( u ) + [ mi −1β0 ( u ) + mi β1 ( u )] hi . (1.10)
      Интерполяционный кубический сплайн строится из условия
непрерывности второй производной во внутренних узлах сетки.
      Поскольку