Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 7 стр.

       Иногда эти функции называют функциями сопряжения. Как видно из
(1.5), с помощью первых двух функций сопрягаются значения fi-1 и fi, а
посредством двух других - производные     f i −′ 1 и f ′ , в результате чего
                                                                 i
получается «сглаженное» объединение Рн (х) на участке [xi-1, xi].
     Возникает вопрос: что делать, если производные f ′ в узлах сетки Δ
                                                                     i
неизвестны? Наиболее простым выходом из этой ситуации является
определение первых производных по разделенным разностям вида:
                f i − f i −1      f − fi
      f ′ = λι               + μι i + 1      , i = 1,2,...,N-1
       i             hi                hi
                          f − f0          f − f1
      f ′ = ( 1 + μ1 ) 1          − μ1 2
       0                     h1             h2
                                                                         (1.7)
                       f − f N-2                   f − f N-1
      f N′ = − λ N −1 N-1          + ( 1 + λ N −1 ) N
                           h N-1                      hN
где
                hi
      μi =               ,   λi = 1 − μ i .                              (1.8)
             hi + hi + 1
     Такой способ вычисления производных по природе своей процесс
неточный. Получаемые результаты слишком глупы для того, чтобы их
использовать в сравнительно точной формуле Эрмита.
     Другой способ определения первых производных приводит к понятию
кубического сплайна.


                               1.4 Кубические сплайны

      Кусочно-полиномиальное приближение функции получило название
сплайн-приближения. Сплайнами называются функции, которые склеены из
различных кусков многочленов с однородной структурой (составлены из
многочленов одной и той же степени). Простейший пример - ломаные. По
своей природе такие сплайны негладкие функции.
      Кусочно-кубические функции Эрмита (другой пример сплайнов) - это
кубические сплайны дефекта 2, т.е. сплайны с непрерывной первой
производной. Сплайны с непрерывной второй производной будем называть
сплайнами дефекта 1. Сплайн, на всем отрезке [а, b] совпадающий с
кубическим полиномом, назовем сплайном дефекта 0.
      Термин «сплайн» произошел от английского слова spline. В переводе
это «рейка» - приспособление, которое применяют чертежники для
проведения гладких кривых через заданные точки.
      Возьмем гибкую стальную линейку, поставим ее на ребро и поместим
между опорами, которые расположены в заданных точках (рис.1.4).