Методическое пособие по курсу "Интерактивные графические системы". Найханов В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

′′
=
−
−+
−
+
+
−
+
−−
s(x)
ff
h
(6 12u)
m( 4 6u)
h
m( 2 6u)
h
ii1
i
2
i1
i
i
i
, (1.11)
находим отсюда односторонние пределы вторых производных:
′′
+=
−
−
+
′′
−=−
−
+
+
+
+
+
+
−−
sx
sx
i
i
()
()
06
42
06
24
1
1
2
1
1
1
2
1
ff
h
mm
h
ff
h
mm
h
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
(1.12)
Из требования непрерывности второй производной в точках
х
i
(i =
1,2,...,N-1)
′′
s
(х
i
+ 0) =
′′
s
(х
i
- 0) находим
iiiiii
cmmm
=
++
+− 11
2
μ
λ
. (1.13)
Здесь
c
ff
h
ff
h
ii
ii
i
i
ii
i
=
−
+
−
+
+
−
3
1
1
1
()
μλ
.
Чтобы определить величины m
0
, m
i
,..., m
N
, надо задать два
дополнительных условия (так называемые «краевые» условия).
Из всего многообразия краевых условий будем рассматривать только
два типа (заданы первые или вторые производные):
1.
′
s
(а) =
′
f
(а),
′
s (b) =
′
f
(b)
2.
′′
s
(а) =
′′
f
(а),
′
′
s (b) =
′
′
f
(b).
Тогда получим систему для определения m
i
:
2
2
0010
11
mmc
mmmc
ii i ii i
+=
++ =
−+
μ
λμ
**
;
;
(1.14)
λ
NN N
N
mmc
**
.
−
+=
1
2
В (1.14) для условий типа 1:
μλ
0
0
**
==
N
,
cf
00
2
*
=
′
,
cf
N
N
*
=
′
2
,
а для условий типа 2 согласно (1.12):
μλ
0
1
**
==
N
,
c
ff
h
h
f
0
10
1
1
0
3
2
*
=
−
−
′′
,
c
ff
h
h
f
N
NN
N
N
N
*
=
−
−
′′
−
3
2
1
.
Матрица системы (1.14) в этих случаях является матрицей с
диагональным преобладанием. Такие матрицы невырождены, потому
система имеет решение, и притом единственное. 
                   f i − f i −1                            mi − 1 ( − 4 + 6u) mi ( − 2 + 6u)
       s ′′(x) =              2
                                    (6 − 12u) +                              +               ,   (1.11)
                         hi                                         hi              hi
находим отсюда односторонние пределы вторых производных:
                                  f i +1 − f i          4mi + 2mi +1
       s ′′( x i + 0 ) = 6                  2
                                                    −
                                    hi +1                   hi + 1
                                                                                                 (1.12)
                                    f i − f i −1          2mi −1 + 4mi
       s ′′( x i − 0 ) = −6                     2
                                                        +
                                        hi                      hi
        Из требования непрерывности второй производной в точках хi (i =
1,2,...,N-1) s ′′ (хi + 0) = s ′′ (хi - 0) находим

               λi mi −1 + 2mi + μ i mi +1 = ci .                                                 (1.13)

                         f i +1 − f i      f − f i −1
Здесь ci = 3( μ i                     + λi i          ).
                              hi + 1         hi
      Чтобы определить величины m0, mi,..., mN, надо задать два
дополнительных условия (так называемые «краевые» условия).
      Из всего многообразия краевых условий будем рассматривать только
два типа (заданы первые или вторые производные):
      1. s ′ (а) = f ′ (а), s ′ (b) = f ′ (b)
      2. s ′′ (а) = f ′′ (а),          s′′ (b) = f ′′ (b).
      Тогда получим систему для определения mi:
              2m0 + μ 0 m1 = c0 ;
                           *        *

                                                                                                 (1.14)
              λi mi −1 + 2mi + μ i mi +1 = ci ;
              λ N * m N −1 + 2m N = c N * .
      В (1.14) для условий типа 1:
              μ0 * = λ N * = 0 ,
              c0 = 2 f 0′ ,
                 *


              c N = 2 f N′ ,
                  *


а для условий типа 2 согласно (1.12):
              μ0 * = λ N * = 1 ,
                           f 1 − f 0 h1
                c0 = 3              −   f 0′′ ,
                   *

                               h1     2
                            f − f N −1 h N
                         =3 N         −        f N′′ .
                     *
                cN
                                hN       2
     Матрица системы (1.14) в этих случаях является матрицей с
диагональным преобладанием. Такие матрицы невырождены, потому
система имеет решение, и притом единственное.

Страницы