Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

20
степени, дефекта 1. Для грубого приближения можно использовать метод
разделенных разностей.
3. Кубический сплайн
Согласно, выведенным в предыдущем параграфе формулам, при
имеющемся массиве узловых точек
ii
YX , , заданном массиве производных
i
Y
′
в каждой точке, кубический полином Эрмита на отрезке
[
]
1
;
+ii
XX
записывается в следующем виде:
iiiiiii
hYuhYuYuYuxP
⋅
′
⋅
+
⋅
′
⋅
+⋅+⋅=
++ 110110
)()()()()(
β
β
α
α
, где
i
i
h
Xx
u
−
=
, а
iii
XXh −=
+1
.
Рассмотрим вопрос о вычислении массива производных
i
Y
′
другим
способом, чем применение метода разделенных разностей. В теории
сплайнов существуют много методов для построения кусочно-гладких
линий, где производные в узловых точках вычисляются по известным
алгоритмам. Это и интегро-дифференциальные сплайны, и напряженные
сплайны и много других методов.
Естественно, что для вычисления производных
i
Y
′
в узловых точках
ii
YX , необходимы дополнительные условия. Таким условием может являться
непрерывность второй производной в каждой узловой точке
ii
YX , .
Рассмотрим первую и вторую производные полинома Эрмита по переменной
x
:
1
1
0
1
2
1
2
0
1101
1
0
)(
)(
++
++
′
′′
+
′
′′
+
′′
+
′′
=
′′
′′
+
′′
+
′
+
′
=
′
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iii
i
i
i
i
Y
h
Y
h
Y
h
Y
h
xP
YYY
h
Y
h
xP
β
β
α
α
ββ
α
α
. Производные функций смешения
берутся уже по параметру
u . В точке
ii
YX , при расчете второй правой
односторонней производной справа )0(
+
′
′
ii
XP рассматривается полином )(xP
i
,
когда
0=u . Левая односторонняя вторая производная )0( −
′′
ii
XP получается из
)(
1
xP
i−
полинома, когда
1=u
. Требование непрерывности второй производной
в узловых точках
)0()0(
+
′
′
=
−
′′
iiii
XPXP после все вычислений приводит к
следующему результату:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
′
+
′
+
′
−
−+
+−
1
11
11
32
i
ii
i
i
ii
iiiiii
h
YY
h
YY
YYY
λμμλ
, где
1
1
1
,
−
−
−
+
=
+
=
ii
i
i
ii
i
i
hh
h
hh
h
μλ
.
Напомним, что массив точек
ii
YX , имеет нумерацию
Mi ..0
∈
.
Коэффициенты
iii
XXh −=
+1
вычисляются для значений индекса 1..0
−
∈
Mi .
Коэффициенты
1
1
1
,
−
−
−
+
=
+
=
ii
i
i
ii
i
i
hh
h
hh
h
μλ
вычисляются для значений индекса
1..1 −∈ Mi . Формула, вытекающая из условия непрерывности вторых
производных действительна для узловых точек, соответствующих значениям 
                                                                                          20

степени, дефекта 1. Для грубого приближения можно использовать метод
разделенных разностей.

3. Кубический сплайн
     Согласно, выведенным в предыдущем параграфе формулам, при
имеющемся массиве узловых точек X i , Yi , заданном массиве производных Yi′
в каждой точке, кубический полином Эрмита на отрезке [X i ; X i +1 ]
записывается            в                     следующем              виде:
                                                                                                                               x − Xi
Pi ( x) = α 0 (u ) ⋅ Yi + α 1 (u ) ⋅ Yi +1 + β 0 (u ) ⋅ Yi′ ⋅ hi + β 1 (u ) ⋅ Yi′+1 ⋅ hi ,                   где          u=          ,     а
                                                                                                                                 hi
hi = X i +1 − X i .
         Рассмотрим вопрос о вычислении массива производных Yi′ другим
способом, чем применение метода разделенных разностей. В теории
сплайнов существуют много методов для построения кусочно-гладких
линий, где производные в узловых точках вычисляются по известным
алгоритмам. Это и интегро-дифференциальные сплайны, и напряженные
сплайны и много других методов.
         Естественно, что для вычисления производных Yi′ в узловых точках
X i , Yi необходимы дополнительные условия. Таким условием может являться
непрерывность второй производной в каждой узловой точке X i , Yi .
Рассмотрим первую и вторую производные полинома Эрмита по переменной
                      α 0′            α 1′
         Pi′( x) =             Yi +          Yi +1 + β 0′Yi′ + β 1′Yi′+1
                      hi              hi
x:                                                                                        .    Производные     функций           смешения
                      α 0′′           α 1′′              β 0′′           β 1′′
         Pi′′( x) =        2
                               Yi +        2
                                               Yi +1 +           Yi′ +            Yi′+1
                      hi              hi                 hi                  hi
берутся уже по параметру u . В точке X i , Yi при расчете второй правой
односторонней производной справа Pi′′( X i + 0) рассматривается полином Pi (x) ,
когда u = 0 . Левая односторонняя вторая производная Pi′′( X i − 0) получается из
Pi −1 ( x) полинома, когда u = 1 . Требование непрерывности второй производной
в узловых точках Pi′′( X i − 0) = Pi′′( X i + 0) после все вычислений приводит к
следующему                                                             результату:
                                                                 ⎛            Yi+1 − Yi     Y − Yi−1               ⎞
λ i Y i ′− 1 + 2 Y i ′ + μ i Y i ′+ 1 = 3 ⎜⎜ μ                           i              + λi i                     ⎟⎟ ,                   где
                                                                 ⎝                hi           hi−1                 ⎠
          hi                hi −1
λi =              , μi =            .
       hi + hi −1        hi + hi −1
    Напомним, что массив точек X i , Yi имеет нумерацию i ∈ 0..M .
Коэффициенты hi = X i +1 − X i вычисляются для значений индекса i ∈ 0..M − 1 .
                                                  hi                hi −1
Коэффициенты λi =                                         , μi =            вычисляются для значений индекса
                                               hi + hi −1        hi + hi −1
i ∈ 1..M − 1 .
          Формула, вытекающая из условия непрерывности вторых
производных действительна для узловых точек, соответствующих значениям

Страницы