Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 21 стр.

                                                                 21

индекса i ∈ 1..M − 1 . Такое множество условий действительно необходимо при
практической реализации алгоритмов построения сплайн-функций.
     Рассмотрим краевые условия первого рода, когда на крайних узловых
точках X 0 , X M заданы первые производные f 0′, f M′ . Тогда для определения
                                                                                                 2Y0′ + μ 0Y1′ = 2 f 0′
коэффициентов μ 0 , λ M можем сделать следующее:                                                                            , откуда
                                                                                                 λ M YM′ −1 + 2YM′ = 2 f M′
             μ0 = 0
следует             .
             λM = 0
     Таким образом, мы имеем систему уравнений относительно первых
производных в узловых точках с трехдиагональной матрицей
                                      ⎡2    μ0    0                                             ⎤ ⎡ Y0′ ⎤ ⎡ c0 ⎤
                                      ⎢λ    2    μ1 0                                           ⎥ ⎢ Y′ ⎥ ⎢ c ⎥
                                      ⎢ 1                                                       ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥
                                      ⎢                                                         ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                                      ⎢                                                         ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
коэффициентов:                        ⎢     0    λi          2    μi         0                  ⎥ • ⎢ Yi′ ⎥ = ⎢ ci ⎥ ,                  где
                                      ⎢                                                         ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                                      ⎢                                                         ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                                      ⎢                      0 λ M −1        2           μ M −1 ⎥ ⎢YM′ −1 ⎥ ⎢c M −1 ⎥
                                      ⎢                           0         λM             2 ⎥⎦ ⎢⎣ YM′ ⎥⎦ ⎢⎣ c M ⎥⎦
                                      ⎣
               μ 0 = 0, c0 = 2 f 0′
         hi = X i +1 − X i , i ∈ 0..M − 1
            hi               hi −1
λi =              , μi =            , i ∈ 1..M − 1
       hi −1 + hi        hi −1 + hi
                                                     .
        ⎛μ                 λ                ⎞
 ci = 3⎜⎜ i (Yi +1 − Yi ) + i (Yi − Yi −1 )⎟⎟,
        ⎝ hi               hi −1            ⎠
                 i ∈ 1..M − 1
             λ M = 0, c M = 2 f M′
     Рассмотрим краевые условия второго рода, когда на крайних узловых
точках X 0 , X M заданы вторые производные f 0′′, f M′′ . Тогда мы можем сделать
                                                                             6                         2
                                             f 0′′ = P0′′( X 0 + 0) =            2
                                                                                     (Y1 − Y0 ) −         (2Y0′ + Y1′)
                                                                            h0                         h0
следующие вычисления:                                                                                                                          .
                                                                                          6                           2
                                             f M′′ = PM′′ −1 ( X M − 0) = −                      (YM   − YM −1 ) +           (YM′ −1 + 2YM )
                                                                                         hM −1                       hM −1
Дальнейшие              преобразования                       приводят                к        следующему                     результату:
            3            h
2Y0′ + Y1′ = (Y1 − Y0 ) − 0 f 0′′
            h0            2
                                                         .    Откуда                 можно             получить              следующие
YM′ −1 + 2YM′ =
                    3
                      (YM − YM −1 ) + hM −1 f M′′
                hM −1                  2
соотношения             для      коэффициентов,                   соответствующих                             крайним             точкам
              μ 0 = 1, c0 =
                              3
                                 (Y1 − Y0 ) − h0 f 0′′
                              h0              2
массива:                                                                .
              λ M = 1, c M   =
                                 3
                                     (YM − YM −1 ) + hM −1 f M′′
                               hM −1                  2