Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 23 стр.

                                                          23

для такого случая разработан метод прогонки. Суть его заключается в
следующем.
     Мы имеем следующую систему уравнений, записанную в таком
                ⎡a0               μ0      0                                   ⎤ ⎡ P0 ⎤ ⎡ c0 ⎤
                ⎢λ                a2     μ1     0                             ⎥ ⎢ P ⎥ ⎢ c ⎥
                ⎢ 1                                                           ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥
                ⎢                                                             ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                ⎢                                                             ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
матричном виде: ⎢                  0     λi    ai    μi        0              ⎥ • ⎢ Pi ⎥ = ⎢ ci ⎥ . Рассмотрим
                ⎢                                                             ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                ⎢                                                             ⎥ ⎢       ⎥ ⎢       ⎥
                ⎢                               0   λ M −1 a M −1      μ M −1 ⎥ ⎢ PM −1 ⎥ ⎢c M −1 ⎥
                ⎢
                ⎣                                     0    λM           a M ⎥⎦ ⎢⎣ PM ⎥⎦ ⎢⎣ c M ⎥⎦
первое уравнение этой системы: a0 P0 + μ 0 P1 = c0 . Из него можно выразить P0 и
подставить во второе уравнение системы. Таким образом, возможно из i-го
уравнения системы исключить переменную Pi −1 , а переменную Pi выразить
через Pi +1 . То есть можно составить следующую вычислительную схему:
Pi −1 = k i −1 Pi + bi −1 . А также имеем: Pi = k i Pi +1 + bi .
         Рассмотрим уравнение системы: λi Pi −1 + ai Pi + μ i Pi +1 = ci . Подставив в него
                                                                        μi                    ci − λi bi −1
уравнение Pi −1 , получим следующее: Pi = −                                         Pi +1 +                  . Сравнивая с
                                                                   λi k i −1 + ai             λi k i −1 + ai
выражением            Pi = k i Pi +1 + bi ,    можем       вывести              следующие               соотношения:
            μi
ki = −
       λi k i −1 + ai
                      , где i ∈ 1..M − 1 . Анализируя первое уравнение системы, можно
     ci − λi bi −1
bi =
     λi k i −1 + ai
                                    μ0
                              k0 = −
                                       a0
сделать вывод, что                            . Таким образом, составлена рекуррентная схема
                                  c
                              b0 = 0
                                  a0
для вычисления коэффициентов k i , bi . Данная последовательность
вычислительных действий называется прямым ходом прогонки.
     Рассматривая предпоследнее уравнение системы, можно преобразовать
его к виду PM −1 = k M −1 PM + bM −1 . Подставив его непосредственно в последнее
уравнение системы, можно получит выражение для значения PM :
       c M − λ M bM −1
PM =                    .   Прогоночные коэффициенты k i , bi                                   нам известны. По
       λ M k M −1 + a M
итерационной схеме Pi −1 = k i −1 Pi + bi −1 , где i ∈ M ..1 , мы можем найти весь вектор
неизвестных Pi .
     Ниже представлен фрагмент документа «MathCAD 2001», в котором
реализован метод прогонки для расчета первых производных в узловых
точках с краевыми условиями второго рода.