Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

25
00
,YX
i
i
YX ,
MM
YX ,
X
Y
Рис. 3 Построение замкнутых линий
Естественно предположить, что моделируемая замкнутая линия как
функция будет представлена в параметрическом виде:
⎩
⎨
⎧
=
)(
)(
)(
ty
tx
tR
r
. Поскольку
мы моделируем составную функцию, то необходимо оговорить ее степень
гладкости. В большинстве практических задач требуется гладкость второго
порядка. При моделировании замкнутых линий это условие также должно
соблюдаться. Первая и вторая производные в начальной и конечной точке
должны быть равны:
MM
RRRR
′′
=
′′′
=
′
r
r
rr
00
, .
В дальнейшем, задача сводится к построению кусочно-гладкой
функции по каждой координате в отдельности в зависимости от параметра
t .
0
T
1
T
1−i
T
i
T
1+i
T
1−N
T
N
T
T
X
0
X
1
X
1−i
X
i
X
1+i
X
1−N
X
N
X
Рис.4 Покоординатное построение сплайна
Требование гладкости по первой и второй производной в узловых точках
приводит к аналогичной итерационной схеме, что и при построении
кубического сплайна. Требование равенства первой производной в начальной
и конечной точках приводит к уравнению:
M
XX
′
=
′
0
. Аналогичное требование
для второй производной
)0()0(
100
−
′
′
=
+
′
′
− MM
TPTP приводит к уравнению: 
                                                  25

                                             Y
                      X 0 , Y0

                                  X M , YM
                                                                  X

                                                       X i , Yi




                                 Рис. 3 Построение замкнутых линий


       Естественно предположить, что моделируемая замкнутая линия как
                                                                                 r   ⎧ x(t )
функция будет представлена в параметрическом виде: R(t ) = ⎨                                  . Поскольку
                                                                                     ⎩ y (t )
мы моделируем составную функцию, то необходимо оговорить ее степень
гладкости. В большинстве практических задач требуется гладкость второго
порядка. При моделировании замкнутых линий это условие также должно
соблюдаться. Первая rи вторая
                         r r
                                    производные
                                      r
                                                в начальной и конечной точке
должны быть равны: R0′ = RM′ , R0′′ = RM′′ .
     В дальнейшем, задача сводится к построению кусочно-гладкой
функции по каждой координате в отдельности в зависимости от параметра t .


                 X
                                 X i −1
           X1                                Xi
   X   0
                                                         X i +1                      X    N


                                                                      X   N −1




                                                                                              T

  T0       T1                T i −1          Ti          T i +1       TN −1          TN


                     Рис.4 Покоординатное построение сплайна


Требование гладкости по первой и второй производной в узловых точках
приводит к аналогичной итерационной схеме, что и при построении
кубического сплайна. Требование равенства первой производной в начальной
и конечной точках приводит к уравнению: X 0′ = X M′ . Аналогичное требование
для второй производной P0′′(T0 + 0) = PM′′ −1 (TM − 0) приводит к уравнению:

Страницы