Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 26 стр.

                                                           26
2 X 0′ + X 1′ X M′ −1 + 2 X M′   Y −Y     Y − YM −1
             +                 =3 1 2 0 +3 M      2
                                                    .                Другими        словами      мы      имеем
     h0             hM −1          h0       hM −1
систему из M + 1 уравнений для M + 1 неизвестных X 0′ ,.., X M′ . Для i-го
уравнения     такой      системы,    где      i ∈ 1..M − 1 ,       имеем:
                                         ⎛            Yi+1 − Yi     Y − Yi−1              ⎞
λ i Y i ′− 1 + 2 Y i ′ + μ i Y i ′+ 1 = 3 ⎜⎜ μ    i             + λi i                    ⎟⎟ ,                где
                                         ⎝                hi           hi−1                ⎠
          hi                hi −1
λi =              , μi =            . Напомним, что в данном случае hi = Ti +1 − Ti , где
       hi + hi −1        hi + hi −1
i ∈ 0..M − 1 . Матричная запись такой системы уравнений выглядит следующим
                  ⎡1   0 0               0      −1 ⎤            ′
                  ⎢λ      μ                           ⎥ ⎡ X 0 ⎤ ⎡ c0 ⎤
                  ⎢ 1  2     1 0                      ⎥ ⎢ X 1′ ⎥ ⎢ c1 ⎥
                  ⎢                                   ⎥ ⎢          ⎥ ⎢       ⎥
                  ⎢                                   ⎥  ⎢         ⎥ ⎢       ⎥
                  ⎢    0   λ   2  μ      0            ⎥ • X i′ = ci ⎥ .
                                                         ⎢         ⎥ ⎢
образом:                     i      i                                          Значения
                  ⎢                                   ⎥ ⎢          ⎥ ⎢       ⎥
                  ⎢                                   ⎥ ⎢          ⎥ ⎢       ⎥
                  ⎢            0 λ       2     μ M −1 ⎥
                                                         ⎢         ⎥ ⎢       ⎥
                                   M −1
                                                         ⎢ X M′ −1 ⎥ ⎢c M −1 ⎥
                  ⎢2   1                 1        2 ⎥
                  ⎢h       0       0                     ⎢ X′ ⎥ ⎢ c ⎥
                  ⎣ 0 h0                hM −1 hM −1 ⎥⎦ ⎣ M ⎦ ⎣ M ⎦
                                           c0 = 0
                                                 hi = Ti +1 − Ti , i ∈ 0..M − 1,
                                                  hi               hi −1
коэффициентов равны: λi =                               , μi =            , i ∈ 1..M − 1, . Еще раз отметим,
                                             hi −1 + hi        hi −1 + hi
                                           ⎛μ                    λ                   ⎞
                                    ci = 3⎜⎜ i ( X i +1 − X i ) + i ( X i − X i −1 )⎟⎟,
                                           ⎝ hi                  hi −1               ⎠
                                                 X −X             X − X M −1
                                         cM = 3 1 2 0 + 3 M                  2
                                                      h0               hM −1
что первое уравнение отражает равенство первых производных в концевых
точках, а последнее уравнение системы удовлетворяет условию равенства
вторых производных.
     Ниже приведен фрагмент документа «MathCAD 2001», который
реализует построение замкнутой кусочно-гладкой кривой на массиве
                                                                                                 x(t ) = sin(2t )
узловых точек принадлежащих линии, заданной уравнениями:                                                           ,
                                                                                                 y (t ) = sin(3t )
где параметр t принадлежит отрезку [0;2π ] . В данном примере следует
обратить внимание на поведение кривой в зависимости от числа узловых
точек.