Методы и алгоритмы принятия решений в управлении учебным процессом в условиях неопределенности. Найханова Л.В - 113 стр.

                                       Приложение А
Основные понятия теории нечетких множеств
1. Нечеткие множества и нечеткие отношения
          Нечетким множеством А в U называется совокупность пар вида ( µ A (u ) / u ) , где u∈U,
а µ A (u ) – функция принадлежности нечеткого множества А, µ A : U → [0,1]. Здесь U –
некоторое множество (в обычном смысле) элемент                   ов, которое называется
универсальным множеством. Для любого элемента U функция принадлежности определяет
степень принадлежности. Записать нечеткое множество можно следующим образом:
                           A = Υ µ A (u)/u.                                       (А.1.1)
                                     u∈U


       Например, U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1). Тогда А можно представить в виде:
        А = (0/a, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/c, 0/f).
       Здесь неважен порядок следования элементов в U и M, комбинация элементов U и M
должна быть такой, что в А каждый элемент принадлежит и U и M.
       Физический смысл функции принадлежности. Спектр мнений по этому вопросу
чрезвычайно широк. Так, например, очень часто на функцию принадлежности накладывается
условие нормировки, тем самым выбирая в качестве функции принадлежности плотность
распределения вероятности. В работе [41] под значением функции принадлежности µ A (u )
нечеткого множества А для любого u∈U понимается вероятность того, что лицо,
принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент u к множеству А. В работе [52]
предполагается, что функция принадлежности это некоторое “невероятностное субъективное
измерение неточности” и что она отлична от плотности вероятности и от функции
распределения вероятности. Иногда под функцией принадлежности понимают возможность
или полезность того или иного события.
       Обычные множества составляют подкласс множества нечетких множеств. Функцией
принадлежности обычного множества B⊂U является функция:
                                      1 , если u ∈ B
                        µ B (u ) =                                                (А.1.2)
                                      0 , если u ∉ B
       Нечеткое множество называется пустым, если µØ(u) = 0, ∀u∈U.
       Носителем нечеткого множества А, которое обозначается как sup A или S(A),
называется множество (в обычном смысле) вида:
                    Sup A = {u | u ∈ U }, µ A (u ) > 0}               (А.1.3)

        Нечеткое множество называется нормальным, если sup µ A (u ) = 1 . В противном
                                                                  u∈U
случае нечеткое множество называется субнормальным. Однако субнормальное множество
(если оно не пусто) всегда можно нормализовать, разделив функцию принадлежности µA (u)
этого множества на величину sup µ A (u ) .
                               u∈U
       Нечеткое отношение R на множествах X и Y описывается с помощью функции
принадлежности двух переменных следующим образом:
                    R = Υ µ R ( x, y ) /( x, y ) .                  (А.1.4)
                        ( x , y )∈ X ×Y


       В общем случае n–арное отношение есть нечеткое подмножество декартова
произведения X1×X2×…×Xn, причем:


                                              113