Методы и алгоритмы принятия решений в управлении учебным процессом в условиях неопределенности. Найханова Л.В - 116 стр.

       Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, если X и Y – символы нечетких
множеств, то
                         def
                   X и Y = XΙ Y .                                                           (A.3.4)

       3. Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое множество A с
функцией принадлежности:
               µ A (u ) = 1 − µ A (u ), u ∈ U (mm, p ) .          (A.3.5)

         Операция дополнения соответствует операции НЕ, т.е.
                        def
                   не X = X = Υ(1− µX ))/ x .                                               (A.3.6)
                               U

       4. Разность нечетких множеств А и В определяется введением двух независимых
операций:
                             µ (u ) − µ B (u ), если µ A (u ) ≥ µ B (u )
               µ A− B (u ) =  A                                          (A.3.7)
                                    0, если µ A (u ) < µ B (u )

                   A − B = AΙ B .                                                           (A.3.8)

       5. Декартово произведение – A1 × A2 × Κ × An нечетких множеств Аi в U, i = 1,..,.n
определяется как нечеткое множество А в декартовом произведении U = U 1 × U 2 × Κ × U n c
функцией принадлежности вида:
                                   {                 }
                µ A (u ) = min µ A1 (u1 ),Κ , µ An (u n ) u = {u1 ,Κ , u n }∈ U . (A.3.9)

         6. Обычным множеством α – уровня нечеткого множества А называют:
                 S α = {u : u ∈ U , µ A (u ) ≥ α }, где α ∈ [0,1] .       (A.3.10)

       Отметим, что нечеткое множество может быть определено объединением своих α-
уровневых подмножеств по всем α ∈[0,1], т.е.
              А = ΥαSα , где µα Sα (u) = α µα Sα (u).                 (A.3.11)
                   α

         Покажем это на примере:
         пусть U = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), A = (0/0, 0.1/1, 0.3/2, 0.5/3, 0.7/4, 0.9/5, 1/6).
         Для А можно записать следующие подмножества α – уровня:
         S0 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
         S0.1 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
         S0.3 = (2, 3, 4, 5, 6)
         S0.5 = (3, 4, 5, 6)
         S0.7 = (4, 5, 6)
         S0.9 = (5, 6)
         S1 = (6).
         Теперь нечеткое множество А можно представить в виде:
         А = 0(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)∪ 0.1(1, 2, 3, 4, 5, 6) ∪ 0.3(2, 3, 4, 5, 6) ∪ 0.5(3, 4, 5, 6) ∪ 0.7(4,
5, 6) ∪0.9(5, 6) ∪1(6).
         7. Степенью нечеткого множества А называют нечеткое множество Аα с функцией
принадлежности:
                    µ Aα (u ) = µ αA (u ) , u ∈ U, α>0.                                      (A.3.12)

         При α = 2 получаем операцию концентрирования (CON):


                                                   116