Курс математики для нематематических специальностей технических университетов: В 2 т. Т.1. Назаров А.И - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЭТУ «ЛЭТИ» | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

exp(x) = 1 +
x
1
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ . . . , exp(y) = 1 +
y
1
+
y
2
2!
+
y
3
3!
+ . . . ,
exp(x)·exp(y) = 1+
x + y
1!
+
x
2
+ 2xy + y
2
2!
+
x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
3!
+. . . =
= 1 +
x + y
1!
+
(x + y)
2
2!
+
(x + y)
3
3!
+ . . . = exp(x + y). ¥
exp(z) · exp(−z) = exp (z + (−z)) = exp(0) = 1.
exp(−z) =
1
exp(z)
.
4. exp(1) =
+∞
P
n=0
1
n!
= e. m ∈ N,
exp(m) = exp(1 + 1 + . . . + 1
| {z }
m
) =
¡
exp(1)
¢
m
= e
m
.
x ∈ R, x > 0
exp(x) = 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+ . . . +
x
n
n!
+ . . . > 0; exp(−x) =
1
exp(x)
> 0.
y > x =⇒ y − x > 0 =⇒ exp(y − x) > 1,
exp(y) = exp(y − x + x) = exp(y − x) · exp(x) =⇒ exp(y) > exp(x).
¥
y ∈ R
exp(i y) =
+∞
X
n=0
(i y)
n
n!
=
+∞
X
k=0
(i y)
2k
(2k)!
+ i ·
+∞
X
k=0
i
2k
y
2k+1
(2k + 1)!
=
=
+∞
X
k=0
(−1)
k
y
2k
(2k)!
+ i ·
+∞
X
k=0
(−1)
k
y
2k+1
(2k + 1)!
. (7.3.1)

Страницы