Лабораторный практикум по разделу "Сигналы и спектры в системах подвижной радиосвязи" специальной дисциплины "Мобильные телекоммуникационные системы". Нечаев Ю.Б - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
−⋅=
∞→
2
exp
2
)(
2
lim
tn
n
t
n
π
δ ,
=
∞→
t
nt
t
n
π
δ
)sin(
)(
lim
.
Наряду с условием нормировки (1.5), важным является фильтрующее
свойство дельта- функции:
∫
∞
∞−
−= ,)()()( ττδτ dtsts (1.6)
где s(t) – непрерывная функция .
Рассмотренная функция Дирака не вписывается в рамки классической
математики, где функция должна принимать какие- то конечные значения в
каждой точке аргумента t. Расширение понятия функции как
математической модели сигнала приводит к необходимости использовать
обобщенные функции.
Определим скалярное произведение вещественных сигналов f и φ:
∫
∞
∞−
= .)()(),( dtttff ϕϕ (1.7)
Соотношение (1.7) можно рассматривать как некоторый функционал на
множестве известных пробных функций φ (t). Если этот функционал
непрерывен , то говорят, что на множестве пробных функций φ(t) задана
обобщенная функция f(t). Важно отметить , что интеграл в (1.7) нужно
понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих
интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать
фильтрующее свойство функции Дирака (1.6):
)())(),(( tsst
=
−
τ
τ
δ
.
Полагая пробные функции финитными, то есть равными нулю за
пределами конечного отрезка t
1
<t<t
2
, можно дифференцировать
обобщенные функции:
∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−= )
)(
),((
)(
)()()())(,
)(
(
td
td
tfdt
td
td
tfttft
td
tfd ϕϕ
ϕϕ .
В частности ,
),()0(
)(
)
)(
),(1())(,
)(1
(
0
ϕδϕ
ϕ
ϕ
ϕ ==−=−=
∫
∞
dt
td
td
dt
td
tt
dt
td
,
то есть
).(
)(1
t
dt
td
δ = (1.8)
Равенство (1.8) необходимо понимать именно в смысле теории
обобщенных функций , так как в классическом смысле производная от
разрывной функции 1(t) при t=0 просто не существует .
Аналогично можно определить и производную дельта- функции:
)0(),(),(
ϕ
ϕ
δ
ϕ
δ
′
−
=
′
−
=
′
.
1.2. Периодические сигналы и ряды Фурье
Периодическим называют сигнал s(t), обладающий свойством
)()( nTtsts
+
=
, n=1,2,… , 
                                                                5

                                  n         nt 2                            sin( nt ) 
      δ (t ) = lim                  ⋅ exp  −        ,     δ (t ) = lim                .
                     n →∞        2π         2                         n →∞    π t 

    Н аря дусусловием норм ировки (1.5), важ ным я вля ется ф ильтрую щ ее
свойство дельта-ф ункции:
                    ∞
          s(t ) =   ∫ s(τ )δ (t − τ )dτ ,
                    −∞
                                                                                                                (1.6)
где s(t) – непрерывная ф ункция .
        Рассм отренная ф ункция Д иракане вписывается в рам ки классической
м атем атики, где ф ункция долж наприним ать какие-то конечные значения в
каж дой точке аргум ента t. Расш ирение поня тия ф ункции как
м атем атической м одели сигнала приводит к необх одим ости использовать
о б о б щ енны е ф ункции.
        О пределим скаля рное произведение вещ ественных сигналов f и φ:
                        ∞
      ( f ,ϕ ) =
                     −∞
                        ∫ f (t )ϕ (t )dt.                                                                      (1.7)
Соотнош ение (1.7) м ож но рассм атривать как некоторый ф ункционал на
м нож естве известных пробных ф ункций φ(t). Е сли этот ф ункционал
непрерывен, то говоря т, что на м нож естве пробных ф ункций φ(t) задана
обобщ енная ф ункция f(t). В аж но отм етить, что интеграл в (1.7) нуж но
поним ать ф орм ально-аксиом атически, а не как предел соответствую щ их
интегральных сум м . И м енно с таких позиций следует рассм атривать
ф ильтрую щ ее свойство ф ункции Д ирака(1.6):
                       (δ (t − τ ), s (τ )) = s(t ) .
     Полагая пробные ф ункции ф инитным и, то есть равным и нулю за
пределам и конечного отрезка t1

Страницы