Лабораторный практикум по разделу "Сигналы и спектры в системах подвижной радиосвязи" специальной дисциплины "Мобильные телекоммуникационные системы". Нечаев Ю.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
где ω [ рад/ сек] – угловая частота, ω =2πf, f[Гц] – циклическая частота.
Спектральную плотность называют также спектральной функцией или
Фурье-образом сигнала. Для нахождения спектральной плотности
необходимо и достаточно абсолютной интегрируемости сигнала, то есть
существования интеграла
∫
∞
∞−
∞<dtts )(
.
Данное условие значительно сужает класс допустимых сигналов.
Например, в этом случае невозможно вычислить спектральную плотность
гармонического сигнала u(t)=U
m
cos(ω
0
t), существующего на всей
бесконечной оси времени. Однако, введение аппарата обобщенных
функций позволяет преодолеть подобные затруднения .
Существует взаимно-однозначное соответствие между прямым и
обратным преобразованиями Фурье
∫
∞
∞−
= ωω
π
ω
diSts
e
ti
)(
2
1
)(
. (1.12)
Таким образом , один и тот же сигнал допускает две совершенно
равноправные математические модели – функцию во временной области и
функцию в частотной области .
Часто целью спектрального представления сигналов является
упрощение его математической модели, а также облегчение анализа
прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей ,
устройств и систем .
Важное место в задачах спектрального представления сигналов
занимает обобщенная формула Рэлея
∫
∞
∞−
== ),(
2
1
)()(
2
1
),(
*
VUdiiUvu
V
π
ωωω
π
, (1.13)
где U(iω ) и V(iω )- спектральные плотности комплексно- значных , в общем
случае оригиналов u(t) и v(t), звездочка (*) означает знак комплексного
сопряжения .
То есть скалярное произведение двух сигналов с точностью до
коэффициента 1/2π пропорционально скалярному произведению их
спектральных плотностей .
На основании формулы (1.13) можно ввести обобщенное понятие
спектральной плотности . Пусть сигнал v(t) – абсолютно интегрируемая
функция . Тогда V(iω ) – обычная классическая функция частоты . Пусть
сигнал u(t) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в
классическом смысле прямое преобразование Фурье U(iω) не существует.
В этом случае можно расширить понятие спектральной плотности ,
допустив, что U(iω ) является обобщенной функцией . Для этого в 
                                                     7

где ω [рад/сек] – угловая частота, ω =2πf, f[Гц] – циклическая частота.
Спектральную плотность называю т такж е спектральной ф ункцией или
Ф урье-образом сигнала. Д ля нах ож дения спектральной плотности
необх одим о и достаточно абсолю тной интегрируем ости сигнала, то есть
сущ ествования интеграла
       ∞

       ∫
      − ∞
            s ( t ) dt    < ∞ .

Д анное условие значительно суж ает класс допустим ых сигналов.
Н априм ер, в этом случае невозм ож но вычислить спектральную плотность
гарм онического сигнала u(t)=Umcos(ω 0t), сущ ествую щ его на всей
бесконечной оси врем ени. О днако, введение аппарата обобщ енных
ф ункций позволя етпреодолеть подобные затруднения .
     Сущ ествует взаим но-однозначное соответствие м еж ду пря м ым и
обратным преобразования м и Ф урье
                     ∞
                1                   iω t
      s (t ) =
               2π    ∫ S (i ω ) e
                     −∞
                                           dω .                      (1.12)

     Т аким образом , один и тот ж е сигнал допускает две соверш енно
равноправные м атем атические м одели – ф ункцию во врем енной области и
ф ункцию в частотной области.
     Ч асто целью спектрального представления сигналов я вля ется
упрощ ение его м атем атической м одели, а такж е облегчение анализа
прох ож дения сигналов через ш ирокий класс радиотех нических цепей,
устройств и систем .
     В аж ное м есто в задачах спектрального представления сигналов
заним аетобобщ енная ф орм улаРэлея

                     ∞
                 1                                  1
      (u , v) =      ∫ U (iω )V       (iω ) dω =
                                  *
                                                      (U ,V ) ,   (1.13)
                2π   −∞
                                                   2π

где U(iω ) и V(iω )- спектральные плотности ком плексно- значных , в общ ем
случае оригиналов u(t) и v(t), звездочка (*) означает знак ком плексного
сопря ж ения .
     Т о есть скаля рное произведение двух сигналов с точностью до
коэф ф ициента 1/2π пропорционально скаля рном у произведению их
спектральных плотностей.
     Н а основании ф орм улы (1.13) м ож но ввести обобщ енное поня тие
спектральной плотности. Пусть сигнал v(t) – абсолю тно интегрируем ая
ф ункция . Т огда V(iω ) – обычная классическая ф ункция частоты. Пусть
сигнал u(t) не удовлетворя ет условию абсолю тной интегрируем ости и в
классическом см ысле пря м ое преобразование Ф урье U(iω) не сущ ествует.
В этом случае м ож но расш ирить поня тие спектральной плотности,
допустив, что U(iω ) я вля ется обобщ енной ф ункцией. Д ля этого в

Страницы