Техническая механика. Нестеренко В.П - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118
(
)
(
)
dAzyyzdAuvI
A A
vи
a-aa+a==
ò ò
sincossincos .
После преобразования получаем:
22
22
cos
α sin 2α sin α;
sin
α sin 2α cos α;
cos2
α sin 2α.
2
vzzyy
uzzyy
zy
vu zy
IIII
IIII
II
II
=-+
=++
-
=+
(4.69)
Из первых двух уравнений (4.69) получаем
=
+
=
+
yzuv
IIII const.
Из формул (4.69) видно, что значения осевых моментов инерции
зависят от угла
a
, но сумма их неизменна. Следовательно, можно найти
такое значение угла
a
, при котором один из моментов инерции прини-
мает максимальное значение, а другой - минимальное. Дифференцируя
выражение I
v
по
a
и приравнивая производную нулю, получаем
0
2
tg2α
yz
I
II
=
-
. (4.70)
Из третьего соотношения в равенствах (2.69) несложно устано-
вить, что при
0
a
=
a
центробежный момент инерции равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции ра-
вен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения,
называют главными осями. Если главные оси проходят через центр
тяжести сечения, то их называют главными центральными осями,
а соответствующие им осевые моменты инерции - главными цен-
тральными моментами инерции, выражения которых можно по-
лучить из первых двух соотношений в равенствах (4.69), исключив
угол
α
.
(
)
2
2
min
max
22
yz
zyzy
I
IIII
I +
-
±
+
= .
Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак
минус - минимальному. Если сечение имеет хотя бы одну ось симмет-
рии, то эта ось будет являться главной центральной осью, другая
главная центральная ось будет перпендикулярна оси симметрии и прой-
дет через центр тяжести сечения.
Моменты инерции сечений простой формы. Рассмотрим сече-
ния прямоугольной и круглой формы.
Прямоугольник. Определим момент инерции прямоугольника
высотой h и шириной основания b относительно главных центральных

Страницы