Тепловой контроль и диагностика. Нестерук Д.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48
Разностные соотношения
Для приближенного решения краевых задач теплопроводности широко
применяют метод конечных разностей (метод сеток) [12, 14]. Идея метода
состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов
заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов).
Вместо функции непрерывных аргументов вводят функции дискретных
аргументов – сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные
производные, входящие в дифференциальное уравнение, и граничные
условия, заменяют (аппроксимируют) разностными соотношениями.
Если рассмотреть функцию целочисленного аргумента
()uk , где k=0, ±1,
±2,…, то можно образовать разности в точке k первого порядка:
(1)()
k
uuk uk∆= +− (правая), () ( 1)
k
uukuk
∇
=−−(левая). Обозначив ()
k
uuk
=
,
получим:
1kk k
uu u
+
∆= −,
1kkk
uuu
−
∇=− .
Тогда для разности второго порядка имеем:
2
121
() 2
kkkkkkk
uuuuuuu
+++
∆=∆∆=∆−∆= − +
.
Выражение для разности второго порядка можно также построить на
основе правой и левой разностей первого порядка:
11
2
kkk kk
uuu uu
+−
∆−∇= − + .
В результате такой замены краевая задача в частных производных
сводится к системе разностных уравнении (алгебраических уравнений),
называемых также разностной схемой.
Если решение системы разностных уравнений существует и при
измельчении сетки стремится к решению поставленной задачи (т.е.
сходится), то это решение и является искомым приближенным решением
краевой задачи. Несмотря на то, что число неизвестных в этой системе
алгебраических уравнений весьма значительно, решение ее с точки зрения
математических трудностей более просто, чем решение исходной задачи.
При решении конкретной задачи необходимо рассмотреть следующие
вопросы:
1) Каким образом выбрать сетку?
2) Как построить разностную схему?
3) Определить, с какой точностью разностная схема аппроксимирует
исходную задачу.
4) Проверить устойчивость разностной схемы.
Выяснить скорость сходимости решения разностной задачи к решению
исходной краевой задачи.
Построение сетки
Заменим область непрерывного изменения аргументов
Ω
искомой
функции
T некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой
области. Это множество назовем разностной сеткой, а сами точки – узлами
сетки [12].

Страницы