Тепловой контроль и диагностика. Нестерук Д.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

50
Крайние узлы сетки называются граничными, остальные узлы –
внутренними. Граничные условия задачи задаются в граничных узлах.
Построение разностных схем
Разностный аналог, аппроксимирующий исходную краевую задачу,
можно построить различными способами. Среди множества возможных
подходов к построению разностных аналогов для дифференциальных
операторов выделим основные:
1) метод формальной замены производных конечно-разностными
выражениями;
2) метод интегральных тождеств (интегро-интерполяционный метод);
3) вариационные методы построения разностных схем;
4) метод неопределенных коэффициентов.
Метод конструирования разностных схем с помощью формальной
замены производных конечно-разностными выражениями основан на
использовании разложения в ряд Тейлора достаточно гладких функций, что,
как правило, позволяет сохранить локальные свойства дифференциальных
уравнений.
Для аппроксимации дифференциального оператора вида
[] /A T dT dx
=
возможно использование следующих разностных отношений: правое
разностное отношение:
,1
()/
xk k k
TTTh
+
=
− ; левое разностное отношение:
1
,
()/
kk
xk
TTTh
−
=− , а также их линейную комбинацию:
,,
,
(1 )
xk xk
xk
TT T
δ
δ
δ
=+− . При
1
2
δ
= получаем центральное разностное соотношение:
11
,
()/(2)
o
kk
xk
TTT h
+−
=− .
Для аппроксимации второй производной можно использовать
следующий разностный оператор:
22
[] /AT d T dx= ,
2
11
[]( 2 )/
kk k k k
AT T T T h
+−
=−+ .
Рассмотрим оператор одномерного уравнения теплопроводности
22
[] / /AT T a T x
τ
=∂ ∂ − ∂ ∂ . Аппроксимируем производную по времени правым
разностным отношением:
1
()/
ii i
kk
TTT
τ
η
+
=− , а для второй производной по
переменной x можно записать разностное отношение на временном слое i:
2
11
,
(2 )/
iiii
kkk
xx k
TTTTh
+−
=−+
или на временном слое (i+1):
11112
11
,
(2 )/
iiii
kkk
xx k
TTTTh
++++
+−
=−+ .
В соответствии с этим можно рассмотреть две различные
аппроксимации оператора (вторая форма соответствует случаю
[]
h
AT
η
=0):
,
[]
ii
h
xx k
AT T aT
ητ
=− , или
1
11
(1 2 )
iii i
kkk k
TmTT mmT
+
−
+
=+−+; (2.39)
1
,
[]
ii
h
xx k
AT T aT
ητ
+
=− , или
11 1
11
(1 2 )
ii i i
kk k k
mT T m mT T
++ +
−+
−
++ =−; (2.40)
где
2
al
m
h
=
, a – коэффициент температуропроводности, [м
2
/с], l – шаг
расчета по времени, [с],
h – шаг расчета по пространству, [м].
Шаблон, представленный для оператора (2.39), используется в явных
схемах. Данный шаблон отличает то, что для нахождения температуры на
(n+1)-м временном слое используются уже известные значения температур

Страницы