Электродинамика. Нетребко Н.В - 59 стр.

§4. Уравнения электростатики                                          59




                       §4. Уравнения электростатики

                       Краткие теоретические сведения
       Уравнение Пуассона. Основные законы электростатики, записанные
в дифференциальном виде, представляют частный случай системы
уравнений Максвелла (см. раздел 11), и включают дифференциальную
форму теоремы Гаусса

        div D = ρ .                                           (4.1)

и свойство потенциальности электростатического поля

        rot E = 0 .                                           (4.2)

В уравнениях (4.1), (4.2) векторы D и E не являются независимыми, а
однозначно связаны так называемым материальным уравнением, которое
для изотропного диэлектрика имеет вид

        D = εε 0 E ,                                          (4.3)

где ε - его диэлектрическая проницаемость. Свойство потенциальности поля
(4.2) позволяет ввести потенциал ϕ:

        E = − gradϕ .                                         (4.4)

Подставляя D = −εε 0 gradϕ в (4.1) и считая среду однородной ( ε не
зависит от координат), получаем уравнение Пуассона для потенциала:

                  ρ
        ∆ϕ = −        .                                       (4.5)
                 εε 0

Это уравнение позволяет вычислить потенциал в произвольной точке
некоторой области V , если в этой области задано распределение объемной
                          ()
плотности заряда ρ r , а также заданы граничные условия, например




                                     59