Электродинамика. Нетребко Н.В - 61 стр.

§4. Уравнения электростатики                                                     61

зарядов должно остаться прежним, также неизменным должен быть
потенциал на границе S области V . Тогда независимо от распределения
зарядов вне области V , поле E внутри нее будет тем же в силу
единственности решения задачи о потенциале (рис.4.1) и однозначной связи
между E и ϕ .


Пример 4.1. Воспользовавшись первой формулой Грина, докажите
возможность приведенной в методе изображений замены поля одной
совокупности зарядов полем другой.
Решение. Пусть u (M ) и v (M ) дважды дифференцируемые в области V
функции. Формулу Грина представим в виде

                                               ∂v
          ∫ (u∆v + gradu ⋅ gradv ) dV = ∫ u ∂nds ,                       (4.8)
          V                               S


где n - внешняя нормаль к поверхности S .
        Положим u = v = ϕ ( ϕ - потенциал электростатического поля) и
рассмотрим сначала простейший случай, когда объемная плотность заряда в
области V равна нулю. Тогда ∆ϕ = 0 и, так как E = − gradϕ , из (4.8)
получим

               2            ∂ϕ
          ∫E           ∫
                   dV = ϕ
                            ∂n      ∫
                               ds = ϕ E ds .                             (4.9)
          V            S            S


Припишем индекс 1 величинам E и               ϕ , относящимся к исходной задаче, а 2
- величинам задачи с измененными источниками. Положив в (4.8)
u = v = ϕ1 − ϕ 2 , с помощью приведенных выше рассуждений получим


          ∫ (E1 − E 2 ) dV = ∫ (ϕ1 − ϕ 2 ) ∂n1 −
                       2                  ∂ϕ        ∂ϕ 2 
                                                          ds .
                                                      ∂n 
          V                    S




                                              61