Электродинамика. Нетребко Н.В - 62 стр.

62                                                                 §4. Уравнения электростатики

Из этого соотношения видно, что замена исходной задачи возможна
(E   1   ≡ E2               )
                     в V , если удастся изменить заряды вне области V так, чтобы
выполнялось условие

                                 ∂ϕ         ∂ϕ 2 
                ∫ (ϕ1 − ϕ 2 ) ∂n1 −         ∂n 
                                                  ds = 0 .                                (4.10)
                S

При выборе в качестве поверхности S эквипотенциальной поверхности,
имеющей для обеих совокупностей зарядов один и тот же потенциал,
условие (4.10) выполняется автоматически.
        Если область V содержит заряженные проводники, то объемы,
ограниченные ими, должны быть исключены из V , поскольку на
поверхности проводников нормальная проекция вектора D терпит разрыв
(см.(4.7)). В этом случае интеграл в правой части (4.9) вычисляется по
поверхностям S и S i ( i = 1,2,... ), где S i - поверхность i − го проводника.
Учитывая,              что       на     поверхности           проводников      потенциал     остается

постоянным, или ϕ                      = ϕ i , имеем
                                  Si

                                                            ϕi              ϕi
                                        1                
                ∫ ϕ E ds = ϕ i  − εε 0 ∫ Dn1ds  = − εε 0 ∫ σds = − εε 0 qi .
                Si                           Si                  Si


С учетом сказанного условие (4.10) принимает вид

                      ∂ϕ       ∂ϕ 2       1
∫ (ϕ1 − ϕ 2 ) ∂n1 −            ∂n 
                                     dS +
                                           εε 0    ∑ (q1i − q2i )(ϕ1i − ϕ 2i ) = 0 .       (4.11)
S                                                  i =1


Так как в области V конфигурации заряженных проводников в обеих
задачах одинаковы, второе слагаемое в (4.11) также обращается в ноль.

Пример 4.2. Найдите распределение пространственных зарядов, создающее
в вакууме поле с потенциалом