Электродинамика. Нетребко Н.В - 64 стр.

64                                                    §4. Уравнения электростатики

                                        a          
        σ = lim D(r )− lim D(r ) =  −        + 2bR ε 0 .              (4.16)
                 r → R+   r → R−        R2         

        Объемную плотность заряда можно найти, используя уравнение
(4.5), которое в сферической системе координат для поля, зависящего
только от r , принимает вид

                   1 d  2 dϕ1    ρ
        ∆ϕ 1 =      2 dr
                         r    =−                .
                  r        dr    ε0

Подставляя сюда ϕ1 из (4.13), получаем выражение для объемной
плотности заряда:

            − 6bε 0                   rR

        Итак, потенциал (4.12) создается следующей конфигурацией
зарядов:
а) точечным зарядом q (4.14), расположенным в точке r = 0 ;
б) равномерно заряженной сферой радиусом R с поверхностной
плотностью заряда σ (4.16);
в) равномерно заряженным по объему шаром радиусом R с объемной
плотностью ρ (4.17).
        Распределение потенциала (4.12) позволяет утверждать, что полный
заряд системы равен нулю. Действительно, при r > R согласно (4.4) поле
отсутствует и D = 0 . Используя теорему Гаусса для сферы радиуса r > R
с центром в точке r = 0 , получим, что заряд внутри сферы равен нулю.
                   a
        Если b =      , то, как видно из (4.16), плотность поверхностного
                 2R 3
заряда равна нулю, и точечный заряд q компенсируется объемным зарядом
шара.