Электродинамика. Нетребко Н.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Уравнения электростатики
66
( )
( )
2/3
22
1
0
2
0
h
qh
z
z
D
n
+
−=
=
∂
∂
−==
ρπ
ϕ
ερσ
.
Для определения суммарного заряда, индуцированного на плоскости,
следует подсчитать интеграл
( )
( )
∫ ∫
∞ ∞
−=
+
−=⋅=
0 0
2/3
22
2
2
2 q
h
dqh
dQ
ρ
ρ
ρπρρσ
.
Пример 4.4. Точечный заряд
q
находится на расстоянии
a
(
)
Ra
>
от
центра проводящей сферы радиусом
R
. Заряд сферы равен Q . Найдите
силу, действующую на заряд
q
.
Решение.
Воспользуемся методом электростатических изображений. В
качестве области
V
выберем пространство вне сферы, содержащее заряд
q
. Внутри проводящей сферы 0=E , а потенциал остается постоянным и
равным потенциалу центра сферы
0
ϕ
, который согласно принципу
суперпозиции равен
∫ ∫
+=
+=+=
R
Q
a
q
ds
Ra
q
R
ds
a
q
0000
0
4
11
4
1
44
πε
σ
πεπε
σ
πε
ϕ
.
Здесь σ − поверхностная плотность заряда Q, неравномерно
распределенного по сфере.
Уберем теперь заряженную сферу и
подберем систему зарядов вне V (внутри
сферы) так, чтобы потенциал на ее
поверхности сохранил прежнее значение.
Эту задачу решим в два этапа. На первом
этапе выберем заряд 'q так, чтобы
потенциал сферы стал равен нулю. Для этого
можно воспользоваться решением примера 9
Рис.4.2 
66                                                          §4. Уравнения электростатики


                                    ∂ϕ1                qh
        σ (ρ ) = Dn = −ε 0                    =−                           .
                                     ∂z z = 0           (
                                                 2π ρ + h 2
                                                     2
                                                                   )3/ 2



Для определения суммарного заряда, индуцированного на плоскости,
следует подсчитать интеграл
            ∞                                 ∞
                                         qh          dρ 2
            ∫
        Q = σ (ρ ) ⋅ 2πρdρ = −
                                          2   ∫ (ρ 2 + h 2 )3 / 2 = −q .
             0                                0



Пример 4.4. Точечный заряд q находится на расстоянии a                                   (a > R )   от
центра проводящей сферы радиусом R . Заряд сферы равен Q . Найдите
силу, действующую на заряд q .
Решение. Воспользуемся методом электростатических изображений. В
качестве области V выберем пространство вне сферы, содержащее заряд
q . Внутри проводящей сферы E = 0 , а потенциал остается постоянным и
равным потенциалу центра сферы ϕ 0 , который согласно принципу
суперпозиции равен

                                                              
                   q                σds      1     q 1              1 q Q
        ϕ0 =
                 4πε 0 a
                           +   ∫          =
                                   4πε 0 R 4πε 0
                                                       +
                                                    a R σ  ∫
                                                            ds  = 4πε  a + R  .
                                                                       0
                                                               

       Здесь σ − поверхностная плотность заряда Q, неравномерно
распределенного по сфере.
       Уберем теперь заряженную сферу и
подберем систему зарядов вне V (внутри
сферы) так, чтобы потенциал на ее
поверхности сохранил прежнее значение.
Эту задачу решим в два этапа. На первом
этапе выберем заряд q ' так, чтобы
потенциал сферы стал равен нулю. Для этого
можно воспользоваться решением примера 9                                       Рис.4.2

Страницы