Электродинамика. Нетребко Н.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Уравнения электростатики
67
67
параграфа 2: для двух точечных зарядов
q
и 'q поверхностью нулевого
потенциала является сфера, центр которой лежит на прямой, соединяющей
заряды. Допустим, что искомый заряд 'q находится на расстоянии
x
от
центра сферы, тогда из условия 0
=
=
BA
ϕ
ϕ
(см. рис.4.2) имеем
0
'
4
1
0
=
−
+
−
=
xR
q
Ra
q
A
πε
ϕ
и
0
'
4
1
0
=
+
+
+
=
xR
q
Ra
q
B
πε
ϕ
. (4.18)
Решая систему уравнений (4.18), определяем 'q и
x
a
R
qq −='
,
a
R
x
2
=
. (4.19)
На втором этапе подберем заряд ''q так, чтобы потенциал сферы
принял значение потенциала исходной задачи. Очевидно, что заряд ''q
следует поместить в центр сферы. Учитывая, что суммарный вклад в
потенциал сферы зарядов
q
и 'q равен нулю, получим
+==
R
Q
a
q
R
q
00
0
4
1
4
''
πεπε
ϕ
.
Откуда
a
R
qQq +='' . (4.20)
Таким образом поле
E
исходной задачи в области V эквивалентно полю,
создаваемому зарядами ', qq и
''q
. Сила, действующая на заряд
q
, согласно
принципу суперпозиции равна
( )
+
−
=
22
0
'''
4
a
q
xa
qq
F
πε
.
Подставляя выражения для ', qx и ''q , полученные выше, окончательно
находим 
§4. Уравнения электростатики                                                              67

параграфа 2: для двух точечных зарядов q и q ' поверхностью нулевого
потенциала является сфера, центр которой лежит на прямой, соединяющей
заряды. Допустим, что искомый заряд q ' находится на расстоянии x от
центра сферы, тогда из условия ϕ A = ϕ B = 0 (см. рис.4.2) имеем

                     1  q      q' 
          ϕA =               +      =0                и
                 4πε 0  a − R R − x 
                   1         q         q' 
          ϕB =                     +       =0.                                 (4.18)
                 4πε 0       a + R   R + x

Решая систему уравнений (4.18), определяем q ' и x

                     R                 R2
          q ' = −q     ,          x=      .                                      (4.19)
                     a                 a
         На втором этапе подберем заряд q ' ' так, чтобы потенциал сферы
принял значение потенциала исходной задачи. Очевидно, что заряд q ' '
следует поместить в центр сферы. Учитывая, что суммарный вклад в
потенциал сферы зарядов q и q ' равен нулю, получим

                     q' '          1 q Q
          ϕ0 =               =          + .
                 4πε 0 R         4πε 0  a R 

                                     R
Откуда                q' ' = Q + q     .                                         (4.20)
                                     a
Таким образом поле E исходной задачи в области V эквивалентно полю,
создаваемому зарядами q, q ' и q ' ' . Сила, действующая на заряд q , согласно

                                                     q  q '           q' ' 
принципу суперпозиции равна                   F=                       + 2 .
                                                   4πε 0  (a − x ) 2
                                                                        a 
Подставляя выражения для x, q' и q ' ' , полученные выше, окончательно
находим




                                                   67

Страницы