Электродинамика. Нетребко Н.В - 65 стр.

§4. Уравнения электростатики                                                  65

Пример 4.3. Точечный заряд q расположен на расстоянии h от бесконечной

проводящей заземленной плоскости. Найдите силу F , действующую на
заряд, и поверхностную плотность σ индуцированного на плоскости заряда.
Решение. Воспользуемся методом электростатических изображений. В
качестве области V , в которой поля заданной и модельной конфигураций
зарядов будут совпадать, выберем полупространство z > 0 , где ось
0 z направим перпендикулярно плоскости проводника через заряд q (см.
рис.4.1а), а на плоскости выберем полярную систему координат ( ρ ,ψ ). Так
как поле точечного заряда убывает с возрастанием расстояния от него, то
модуль плотности заряда, индуцированного им на плоскости, будет убывать
с ростом ρ .
       Уберем плоскость с наведенным на ней зарядом и подберем вне V
(в полупространстве z < 0 ) систему зарядов такую, чтобы потенциал
плоскости был равен нулю. Нетрудно убедиться в том, что поместив заряд
 −q в точку на оси 0 z с координатой z = −h (отражение заряда q
плоскостью z = 0 ), получим, что потенциал плоскости симметрии z = 0
равен нулю (см. рис.4.1б). Следовательно, поле E1 исходной задачи для

z > 0 эквивалентно полю E 2 , создаваемому зарядом q и отраженным
зарядом −q .
         С учетом сказанного сила взаимодействия заряда q с плоскостью
равна силе взаимодействия между зарядом q и его «отражением» −q :

        q2
F=                и является силой притяжения, а потенциал поля в
     16πε 0 h 2
произвольной точке области V

                                q                           q
         ϕ1 = ϕ 2 =                           −                           .
                      4πε 0 ρ 2 + (h − z )2       4πε 0 ρ 2 + (h + z )2

       Для определения поверхностной плотности наведенного на
плоскости заряда воспользуемся граничными условиями (4.7) и связью
между потенциалом и напряженностью поля (4.4):




                                          65