Электродинамика. Нетребко Н.В - 63 стр.

§4. Уравнения электростатики                                                            63

                    1       1
                     a −
            ϕ (r ) =   r R 
                                        (
                                 − b R2 − r2 ,     )     если
                                                                 r≤R
                                                                     .         (4.12)
                                                               r>R
                                    0

Решение. Потенциал поля обладает сферической симметрией, поэтому
целесообразно выбрать сферическую систему координат, поместив начало
                                                                       a
отсчета в точку r = 0 . При r → 0 потенциал имеет особенность: ϕ (r ) → .
                                                                       r
Для того чтобы вычленить ее из потенциала, представим ϕ (r ) в виде
           a
ϕ (r ) =     + ϕ1 (r ) , где ϕ1 (r ) - всюду непрерывная функция
           r

                       a      2
                                (
                      − − b R − r
                                   2
                                             )                   r≤R
            ϕ1 (r ) =  R            ,                   если        .         (4.13)
                             a                                   r>R
                          −
                            r

Особенность потенциала (4.12) в окрестности r = 0 того же типа, что и
особенность поля точечного заряда, помещенного в эту точку. Из формулы
                                        q     a
для потенциала точечного заряда имеем        = . Откуда
                                      4πε 0 r r

            q = 4πε 0 a .                                                      (4.14)

            Согласно        (4.7)       на       заряженных     поверхностях   нормальная
составляющая вектора D терпит разрыв. Используя соотношения (4.3) и
                                                   dϕ 1
(4.4), а также симметрию задачи, находим E1 = −n r      , D1 = n r D1 , где
                                                    dr
nr = r / r и

                 − 2bε 0 r
                                                rR
                  r 2

Откуда




                                                    63