Электродинамика. Нетребко Н.В - 68 стр.

68                                                                         §4. Уравнения электростатики


              F=
                         q2      Q R 3 2a 2 − R 2
                                 −
                                                      (            ) .                             (4.21)
                       4πε 0 a  q
                              2
                                    a a2 − R2
                                                2
                                                  (            )    
                                                                    

              Анализ полученного результата удобнее провести, представив (4.21)
в виде

                                        q2    Q        
                           F=                  − f (ξ ) .
                                              2
                                      4πε 0 a  q       

                R                2 −ξ 2
Здесь ξ =         и f (ξ ) = ξ 3          .
                a                1−ξ 2
                                        2
                                          (               )
Так как 0 < ξ < 1 , то f (ξ ) > 0 и функция f (ξ ) монотонно возрастает,
причем 0 < f (ξ ) < ∞ .
              Если заряды q и Q разноименные, то F < 0 при любом ξ , то есть
заряд    q притягивается к сфере.
                                                                                                      Q
              Если заряды q и Q одноименные, то уравнение f (ξ ) =                                      имеет
                                                                                                      q
единственное решение ξ 0 , определяющее положение a = a0 заряда q
          R
( a0 =        ), при котором F = 0 . Если a > a0 ( ξ < ξ 0 ), то F > 0 , то есть
         ξ0
заряд q отталкивается от сферы; при a < a0 ( ξ > ξ 0 ) F < 0 и заряд q1
притягивается к одноименно заряженной проводящей сфере. Таким
образом, положение равновесия заряда a = a0 является неустойчивым.
              В частном случае, когда заряды q и                                  Q одинаковы, корень
                                  2
                         2 −ξ
уравнения ξ 3                           = 1 совпадает с соответствующим корнем уравнения
              (1 − ξ )        2 2


(ξ + ξ − 1)(ξ − ξ − 1) = 0 .
     2             3
                                                              Откуда            ξ0 =   ( 5 − 1)/ 2            и
         R
a0 =          = R(1 + ξ 0 ) ≈ 1,618 R .
         ξ0